Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» для 3-10 класса - сложность 2-3 с решениями

Точка <i>А</i> лежит на окружности верхнего основания прямого кругового цилиндра (см. рис.), <i>В</i> – наиболее удалённая от неё точка на окружности нижнего основания, <i>С</i> – произвольная точка окружности нижнего основания. Найдите <i>АВ</i>, если  <i>АС</i> = 12,  <i>BC</i> = 5. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116998/problem_116998_img_2.gif"></div>

На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная ломаная, вершины которой совпадают с вершинами куба.

Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной может совпасть с рёбрами куба?

Петя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?

Дан тетраэдр <i>ABCD</i>. Точка <i>X</i> выбрана вне тетраэдра так, что отрезок <i>XD</i> пересекает грань <i>ABC</i> во внутренней точке. Обозначим через <i>A', B', C'</i> проекции точки <i>D</i> на плоскости <i>XBC, XCA, XAB</i> соответственно. Докажите, что  <i>A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC</i>.

Какое наибольшее количество треугольных граней может иметь пятигранник?

В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  |<i>x – y</i>| ≤ 2  и  |3<i>x + y</i>| ≤ 6.

В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде середина <i>N</i> ребра <i>B</i>₁<i>C</i>₁ верхней грани <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ соединена с серединой <i>M</i> ребра <i>AB</i> нижней грани <i>ABCD</i>. Прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> не лежат в одной плоскости. Докажите, что проекции рёбер <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i> на прямую <i>MN</i> равн...

Ребёнок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах кубиков, обращённых к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте, как расположены остальные буквы на данной развёртке кубика и определите, как зовут ребёнка. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116866/problem_116866_img_2.gif"></div>

а) Внутри сферы находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.

Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

а) Внутри окружности находится некоторая точка <i>A</i>. Через <i>A</i> провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.

Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2<i>n</i>-угольник  (<i>n</i> > 2),  его центр <i>A</i> не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из <i>A</i> в вершины 2<i>n</i>-угольника, высекают 2<i>n</i> точек на окружности. 2<i>n</i>-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2<i>n</i> новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2<i>n</i> точек....

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:

   а) равные многоугольники;

   б) правильные многоугольники?

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.

Дана пирамида <i>SA</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, основание которой – выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>. Для каждого  <i>i</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>  в плоскости основания построили треугольник <i>X_iA_iA</i>_<i>i</i>+1, равный треугольнику <i>SA_iA</i>_<i>i</i>+1 и лежащий по ту же сторону от прямой <i>A_iA</i><sub><i>i</i>+1</sub&gt...

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка <i>P</i> и несколько прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  проходящих через <i>P</i> и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  <i>l</i>₁, ..., <i>l_n</i>,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.

Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .

Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны.

Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.

Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину <i>A</i> – параллельно <i>SC</i>, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – параллелограмм.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отметили произвольную точку <i>D</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> симметричны точке <i>D</i> относительно биссектрис углов <i>A</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>EF</i> лежит на прямой <i>A</i>₀<i>C</i>₀, где <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторонами <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно.

Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116574/problem_116574_img_2.gif"></div>Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AA</i>₁ < <i>AD</i> < <i>AB</i>. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...

В прямоугольном параллелепипеде <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали <i>AC</i>₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью <i>d</i>, причём <i>AD</i> < <i>AB</i> < <i>AA</i>₁. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса <i>R</i> расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней <i>ABB</i>₁<i>A</i>₁, <i>ADD</i&g...