Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 5 класса - сложность 2-5 с решениями

В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество мёда сможет гарантированно съесть Винни-Пух?

Для игры в шляпу Надя хочет разрезать лист бумаги на 48 одинаковых прямоугольников. Какое наименьшее количество разрезов ей придется сделать, если любые куски бумаги можно перекладывать, но нельзя сгибать, а Надя способна резать одновременно сколько угодно слоёв бумаги? (Каждый разрез – прямая линия от края до края куска.)

Если каждой девочке дать по одной шоколадке, а каждому мальчику по две, то шоколадок хватит. А если каждому мальчику дать по одной шоколадке, а каждой девочке по две, то их не хватит. А если девочкам не давать вообще, то хватит ли каждому мальчику по три шоколадки?

B ряд лежат 1000 конфет. Сначала Вася съел девятую конфету слева, после чего съедал каждую седьмую конфету, двигаясь вправо. После этого Петя съел седьмую слева из оставшихся конфет, а затем съедал каждую девятую из них, также двигаясь вправо. Сколько конфет после этого осталось?

Можно ли в записи  2013² – 2012² – ... – 2² – 1²  некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?

На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/117005/problem_117005_img_2.gif"></div>

Разрежьте по клеточкам квадрат 7×7 на девять прямоугольников (не обязательно различных), из которых можно будет сложить любой прямоугольник со сторонами, не превосходящими 7.

Астролог считает, что 2013 год <i>счастливый</i>, потому что 2013 нацело делится на сумму  20 + 13.

Будет ли когда-нибудь два счастливых года подряд?

Последовательные натуральные числа 2 и 3 делятся на последовательные нечётные числа 1 и 3 соответственно; числа 8, 9 и 10 – делятся на 1, 3 и 5 соответственно. Найдутся ли 11 последовательных натуральных чисел, которые делятся на 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 и 21 соответственно?

Команды провели турнир по футболу в один круг (каждая с каждой сыграла один раз, победа – 3 очка, ничья – 1, поражение – 0). Оказалось, что единоличный победитель набрал менее 50% от количества очков, возможного для одного участника. Какое наименьшее количество команд могло участвовать в турнире?

Найдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством:  7<i>p</i> + 1  делится на <i>q</i>, а  7<i>q</i> + 1  делится на <i>p</i>.

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число <i>x</i>, при котором значение выражения  <i>x</i>² – 9<i>x</i> + 13  отрицательно. А если ввести число <i>x</i>, при котором отрицательно значение выражения  <i>x</i>² + <i>x</i> – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Марсиане делят сутки на 13 часов. После того, как <i>Марсовский Заяц</i> уронил часы в чай, у них изменилась скорость вращения секундной стрелки, а скорость вращения других стрелок осталась прежней. Известно, что каждую полночь все три стрелки совпадают. Сколько всего за сутки может быть таких моментов времени, когда три стрелки совпадут? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116973/problem_116973_img_2.gif"></div>

Малыш и Карлсон съели бочку варенья и корзину печенья, начав и закончив одновременно. Сначала Малыш ел печенье, а Карлсон – варенье, потом (в какой-то момент) они поменялись. Карлсон и варенье, и печенье ел в три раза быстрее Малыша. Какую часть варенья съел Карлсон, если печенья они съели поровну?

Пусть на плоскости отмечено несколько точек. Назовём прямую <i>нечестной</i>, если она проходит ровно через три отмеченные точки и по разные стороны от неё отмеченных точек не поровну. Можно ли отметить 7 точек и провести для них 5 нечестных прямых?

Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с числом часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в волшебные моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от 1,5 до 2 часов. Сколько времени варится вкусное волшебное зелье?

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить всё жалованье между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдаёт Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:

  а) жалованье между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;

  б) жалованье между отрядами Черномор распределяет поровну?

Малый и Большой острова имеют прямоугольную форму и разделены на прямоугольные графства. В каждом графстве проложена дорога по одной из диагоналей. На каждом острове эти дороги образуют замкнутый путь, который ни через какую точку не проходит дважды. Вот как устроен Малый остров, где всего шесть графств (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116959/problem_116959_img_2.gif"></div>Нарисуйте, как может быть устроен Большой остров, если на нём нечётное число графств. Сколько графств у вас получилось?

13 детей сели за круглый стол и договорились, что мальчики будут врать девочкам, а друг другу говорить правду, а девочки, наоборот, будут врать мальчикам, а друг другу говорить правду. Один из детей сказал своему правому соседу: "Большинство из нас мальчики". Тот сказал своему правому соседу: "Большинство из нас девочки", а он своему соседу справа: "Большинство из нас мальчики", а тот своему: "Большинство из нас девочки" и так далее, пока последний ребёнок не сказал первому: "Большинство из нас мальчики". Сколько мальчиков было за столом?

Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?

Вот ребус довольно простой:

ЭХ вчетверо больше, чем ОЙ.

АЙ вчетверо больше, чем ОХ.

Найди сумму всех четырёх.

Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число.

Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине шесть точек, то она всегда говорит правду, а если четыре точки – то она всегда лжёт, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: "У каждой из нас одинаковое количество точек на спине". Вторая сказала: "У всех вместе на спинах 30 точек". – "Нет, у всех вместе 26 точек на спинах", – возразила третья. "Из этих троих ровно одна сказала правду", – заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?

На блюде лежали 15 плюшек. Карлсон взял себе в три раза больше плюшек, чем Малыш, а собака Малыша Бимбо – в три раза меньше, чем Малыш. Сколько плюшек осталось на блюде?