Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 11 класса - сложность 5 с решениями

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Даны числа<i>а</i>₁, ...,<i>а_n</i>. Для 1 ≤<i>i</i>≤<i>n</i>положим

<center>

<i>d_i</i> = MAX { <i>a_j</i> | 1 ≤ <i>j</i> ≤ <i>i</i> } - MIN { <i>a_j</i> | <i>i</i> ≤ <i>j</i> ≤ <i>n</i> }

<i>d</i> = MAX { <i>dⁱ</i> | 1 ≤ <i>i</i> ≤ <i>n</i> } </center> а) Доказать, что для любых<i>x</i>₁≤<i>x</i>₂≤ ... ≤<i>x</i>_nвыполняется неравенство

<center&g...

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

При каких натуральных<i> n </i>для любых чисел<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>, являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство <center><i>

sin nα + sin nβ + sin nγ<</i>0<i>? </i></center>

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника <i>m×n</i> числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:<ol> <li> Снять по одному камню с клеток <i> n-</i>1 и <i> n </i> и положить один камень в клетку <i> n+</i>1; </li> <li> Снять два камня с клетки <i> n </i> и положить по одному камню в клетки <i> n+</i>1, <i> n-</i>2.</li></ol>Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Докажите, что существует такое натуральное число<i> n </i>, что если правильный треугольник со стороной<i> n </i>разбить прямыми, параллельными его сторонам, на<i> n² </i>правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать1993<i>n </i>точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы. а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна? б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2. в) Докажите, что для любого числа <i>s</i>>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей <i>s</i>.

Для заданных натуральных чисел <i>k₀</i><<i>k₁</i><<i>k₂</i> выясните, какое наименьшее число корней на промежутке <nobr>[0; 2π)</nobr> может иметь уравнение вида sin<i>(k₀x</i>)+<i>A₁</i>·sin(<i>k₁x</i>) +<i>A₂</i>·sin(<i>k₂x</i>)=0где<i>A₁</i>,<i>A₂</i>– вещественные числа.

<i>k</i> вершин правильного <i>n</i>-угольника закрашены. Закраска называется <i>почти равномерной</i>, если для любого натурального <i>m</i> верно следующее условие: если <i>M</i>₁ – множество <i>m</i> расположенных подряд вершин и <i>M</i>₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в <i>M</i>₁ отличается от количества закрашенных вершин в <i>M</i>₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных <i>n</i> и  <i>k</i> ≤ <i>n</i>  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множест...

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.

б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.

в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?

По заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i>⁸можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i>² = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i>⁴ = <i>x</i>² · <i>x</i>²,</nobr><nobr><i>x</i>⁸ = <i>x</i>⁴ · <i>x</i>⁴,</nobr>а<nobr><i>x</i>¹⁵ —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i>⁸ · <i>x<...

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное<nobr>число <i>n</i>,</nobr>а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что<i>n</i>не<nobr>меньше <i>x</i>»</nobr><nobr>(число <i>x</i></nobr>он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной<nobr>стратегии <i>T</i></nobr>второго игрока сопоставим функцию<i>f</i>_<i>T</i>(<i>n</i>), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано<nobr>число <i>n</i>.</nobr>Пусть, например,<nobr>стратегия <i>T</i></nobr>состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что<i>n</i>не...

  а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на <i>m</i> равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на <i>m</i>² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить <i>N</i> вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин <i>A</i> и <i>B</i> отрезок <i>АВ</i> не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение <i>N</i> (при заданном <i>m</i>)?   б) Разделим каждое ребро тетраэдра на <i>m</i> равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим <i>N</i> вершин так, чтобы никакие...

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа <i>a, b</i>, α и β, чтобы прямоугольник размером <i>a</i>×<i>b</i> можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером

а) 20×15;   б) 5×8;   в) 6,25×15;   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73679/problem_73679_img_2.gif">

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a < N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$?

У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее количество очков Василиса может гарантированно заработать?

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.

Докажите, что число$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$+$\sqrt{11}$+$\sqrt{13}$+$\sqrt{17}$иррационально.

Докажите равенства а)$\sqrt[4]{\dfrac{7+3\sqrt5}{2}}$-$\sqrt[4]{\dfrac{7-3\sqrt5}{2}}$= 1; б)$\sqrt[5]{\dfrac{11+5\sqrt5}{2}}$+$\sqrt[9]{\dfrac{76-34\sqrt5}{2}}$= 1. Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.