Олимпиадные задачи по теме «Алгебра и арифметика» для 11 класса - сложность 1 с решениями

Известно, что  tg <i>A</i> + tg <i>B</i> = 2  и  ctg <i>A</i> + ctg <i>B</i> = 3.  Найдите  tg (<i>A + B</i>).

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.

Про углы треугольника <i>ABC</i> известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116493/problem_116493_img_3.gif"> .   Найдите величину угла <i>C</i>.

Решите неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?

Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?

Еще Архимед знал, что шар занимает ровно<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_2.gif"> </i>объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.

<center><i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115708/problem_115708_img_3.gif"> </i></center>

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Найти геометрическое место точек, координаты которых (<i>x</i>,<i>y</i>) удовлетворяют соотношениюsin(<i>x</i>+<i>y</i>) = 0.

Разделить  <i>a</i>^{2^<i>k</i>} – <i>b</i>^{2^<i>k</i>}  на  (<i>a + b</i>)(<i>a</i>² + <i>b</i>²)(<i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴)...(<i>a</i>^{2^<i>k</i>–1} + <i>b</i>^{2^<i>k</i>–1}).

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу <i>m</i>. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться <i>m</i>?

Бухгалтер конторы "Рога и копыта" Балаганов составил штатное расписание – таблицу, в которой указаны все должности, количество сотрудников и их оклады (месячные зарплаты). Кроме того, указан средний оклад по конторе. Некоторые места Паниковский случайно заляпал вареньем, и стало невозможно прочитать, что там написано. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65781/problem_65781_img_2.png"></div>Либо найдите заляпанные вареньем числа, либо докажите, что Балаганов ошибся.

Найдите коэффициент при <i>x</i> у многочлена  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>)...(<i>x – z</i>).

Докажите следующие свойства функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) (определения функций <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>):

  а)  <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) = <img width="93" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61522/problem_61522_img_2.gif">,  где  <i>h_m</i>(<i>x</i>) = (1 – <i>x</i>)(1 – <i>x</i>²)...(1 – <i>x^m</i>)   (<i>h</i>₀(<i>x</i>) = 1)...

Вычислите функции <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) при  0 ≤ <i>k + l</i> ≤ 4  и покажите, что все они являются многочленами.

Определение многочленов Гаусса <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">справочнике</a>.

Докажите, что геометрическая прогрессия{<i>a</i>_n} =<i>bx</i>₀ⁿудовлетворяет соотношению (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.2</a>) тогда и только тогда, когда<i>x</i>₀-- корень характеристического уравнения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i>_n}.

<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i>_n+2=<i>p</i><i>a</i>_n+1+<i>q</i><i>a</i>_n </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>². Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы1²+ 2²+ 3²+...+<i>n</i>².

Пусть даны последовательности чисел {<i>a</i>_n} и {<i>b</i>_n}, связанные соотношением$\Delta$<i>b</i>_n=<i>a</i>_n,    (<i>n</i>= 1, 2,...). Как связаны частичные суммы<i>S</i>_nпоследовательности {<i>a</i>_n}<div align="CENTER"> <i>S</i>_n = <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ +...+ <i>a</i>_n </div>с последовательностью {<i>b</i>_n}?

Найдите <table> <tr><td align="LEFT">а) $\Delta$<i>n</i>²;    </td> <td align="LEFT">в) $\Delta$<i>n</i>^k;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\Delta$<i>n</i>(<i>n</i> - 1);    </td> <td align="LEFT">д) $\Delta$<i>C</i>_n^k.</td> </tr> </table>

Предположим, что имеется набор функций  <i>f</i>₁(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>), определённых на отрезке  [<i>a, b</i>].  Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61379/problem_61379_img_2.gif">

Докажите для положительных значений переменной неравенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61364/problem_61364_img_2.gif">