Олимпиадные задачи по теме «Корни. Степень с рациональным показателем» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.

Решите систему уравнений  (<i>n</i> > 2)      <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_2.gif">   <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_3.gif">     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = 1.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Приведите пример таких целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$, среди которых нет одинаковых, что $a^b=c^d$ и $b^a=d^c$.

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66348/problem_66348_img_2.gif">

Решите уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>),  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">

Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, большее 1, что значение выражения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65522/problem_65522_img_2.gif">  является натуральным числом?

Найдите наименьшее значение дроби ^<i>x</i>/_<i>y</i>, если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64900/problem_64900_img_2.gif">.

Числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i> лежат в интервале  (0, 1).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64488/problem_64488_img_2.gif"> < 4.

Найдите у чисел   а)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.

Докажите, что для любого числа<i>p</i>> 2 найдется такое число$\beta$, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{},$ = $\displaystyle \beta^{2^n}{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$. </div>

Докажите, что уравнение   (<i>x + y</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ + (<i>z + t</i><img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">)⁴ = 2 + <img width="25" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61465/problem_61465_img_2.gif">   не имеет решений в рациональных числах.

Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень a^b- число рациональное?