Первое решение.Примером могут служить числа a=10^1/2, b=2lg11. В самом деле, a^b= (10^1/2)^2lg11= 10^(1/2)*2lg11= 10^lg11= 11.

Осталось показать, что числа 10^1/2и lg11 иррациональные. Если бы выполнялось равенство 10^1/2=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10n²=m², что невозможно, поскольку в левую часть простой множитель 2 входит в нечетной степени, а в правую часть - в четной. Если бы выполнялось равенство lg11=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10^m=11ⁿ, что, очевидно, невозможно. Второе решение.Рассмотрим числоA= √2^√2. Если оно рационально, задача решена (число √2, как известно, иррационально). Если жеAиррационально, то числоA^√2= √2²= 2 рационально, поэтомуAи √2 - искомые числа.

существуют.