Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» - сложность 2-3 с решениями

Обозначим через [<i>n</i>]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего <i>n</i> сомножителей, в последнем – <i>n</i> единиц.

Докажите, что  [<i>n</i> + <i>m</i>]!  делится на произведение [<i>n</i>]!·[<i>m</i>]!.

Найти минимальное и максимальное значения аргумента комплексных чисел <i>y</i>, удовлетворяющих условию  |<i>y</i> + ¹/_<i>y</i>| = <img src="/storage/problem-media/109169/problem_109169_img_2.gif"> .

Среди комплексных чисел <i> p </i>, удовлетворяющих условию  |<i>p</i> – 25<i>i</i>| ≤ 15,  найти число с наименьшим аргументом.

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Докажите следующие равенства: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_2.gif">

б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_3.gif">

в)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_4.gif">

Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен  3<i>x</i>^2<i>n</i> + <i>Ax</i>^<i>n</i> + 2  не делится на многочлен  2<i>x</i>^2<i>m</i> + <i>Ax</i>^<i>m</i> + 3.

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 2,  для которых многочлен  <i>xⁿ + x</i>² + 1  делится на многочлен  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161115">161115</a>, он смог доказать, что  sin <i>x</i>  всегда равен нулю, а  cos <i>x</i>  – единице: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_2.gif">    <img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_3.gif"></div>Где ошибка в приведённых равенствах?

Докажите, что если корни многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен

<i>f'</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Пусть <i>u</i> – точка на единичной окружности  <i>z</i><img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61197/problem_61197_img_2.gif"> = 1  и <i>u</i>₁, <i>u</i>₂, <i>u</i>₃ – основания перпендикуляров, опущенных из <i>u</i> на стороны <i>a</i>₂<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₂ вписанного в эту окружностьтреугольника <i>a</i>&lt...

Точки <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃ расположены на единичной окружности  <i>z<span style="text-decoration: overline;">z</span></i> = 1.

Докажите, что точка  <i>h = a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃  является ортоцентром треугольника с вершинами в точках <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃.

Докажите, что cтепень точки <i>w</i> относительно окружности  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61190/problem_61190_img_2.gif">

Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0.  Пусть образ этой линии при отображении  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61189/problem_61189_img_2.gif">  задается уравнением  <i>A'z<span style="text-decoration: overline;">z</span> + B'z – <span style="text-decoration: overline;">B'</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C'</i>...

Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения   <i>w</i> = <img width="37" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61187/problem_61187_img_2.gif">  и комплексного сопряжения   <i>w = <span style="text-decoration: overline;">z</span></i>  инверсию относительно окружности

  а) с центром <i>i</i> и радиусом <i>R</i> = 1;

  б) с центром  <i>Re</i>^<i>i</i>φ  и радиусом <i>R</i>;

  в) с центром <i>z</i>₀ и радиусом <i>R</i>.

Докажите, что отображение  <i>w</i> = <img width="14" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61186/problem_61186_img_2.gif">  является инверсией относительно единичной окружности.

Докажите, что уравнение  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  при отображениях  <i>w = z + u</i>  и  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>  переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161183">161183</a>).

Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0,  где <i>A</i> и <i>C</i> – чисто мнимые числа.

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

Как изменяется двойное отношение  <i>W</i>(<i>z</i>₁, <i>z</i>₂, <i>z</i>₃, <i>z</i>₄)  при действии отображения  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61182/problem_61182_img_2.gif">?

<i>Двойным отношением</i> четырёх комплесных чисел называется число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_2.gif">   (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161180">161180</a>). Пусть <i>w</i>₁, <i>w</i>₂, <i>w</i>₃, <i>w</i>₄ – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_3.gif">  переводит данные четыре точки <i>z</i>₁, <i>z</i><sub>2&l...

Докажите, что условием того, что четыре точки <i>z</i>₀, <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, <i>z</i>₃ лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61180/problem_61180_img_2.gif">

Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде  <i>Bz</i> – <span style="text-decoration: overline;"><i>B</i></span> <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> + <i>C</i> = 0,  где <i>C</i> – чисто мнимое число.

Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61161/problem_61161_img_2.gif">  с  δ = <i>ad – bc</i> ≠ 0  может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>.