Олимпиадные задачи по теме «Графики и ГМТ на координатной плоскости» для 4-7 класса

На рисунке изображен график функции  <i>у = kx + b</i> .  Сравните |<i>k</i>| и |<i>b</i>|. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116734/problem_116734_img_2.gif"></div>

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта.

Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?

Из Цветочного города в Солнечный ведёт шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты открыт и т.д., а на четвёртом и на шестом километрах расположены светофоры, которые две минуты горят красным светом и три минуты – зелёным и т.д. Незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни тормозить, ни увеличивать скорость)?

<b>Постройте график.</b>Постройте график функции<var>y</var>= 3<var>x</var>+ |5<var>x</var>− 10|.

По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,

а какая – минутная?

Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?

Точки пересечения графиков четырёх функций, заданных формулами  <i>y = kx + b,  y = kx – b,  y = mx + b</i>  и  <i>y = mx – b</i>,  являются вершинами четырёхугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

На листе бумаги были построены система координат (выделена жирно) и графики трёх функций:  <i>y = ax + b,  y = bx + c</i>  и  <i>y = cx + a</i>.  После этого стёрли обозначения и направления осей, а сам лист как-то повернули (см. рисунок). Укажите на рисунке ось абсцисс и ее направление.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65221/problem_65221_img_2.gif"></div>

Графики функций  <i>у = kx + b</i>  и  <i>у = bx + k</i>  пересекаются. Найдите абсциссу точки пересечения.