Олимпиадные задачи по теме «Арифметические действия. Числовые тождества» для 7 класса - сложность 2 с решениями

Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется  400⁵ – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4)  рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4<i>K</i>,  где <i>K</i> – любое натуральное число, делится на 400.

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

Решите уравнение:<div align="CENTER"> 1993 = 1 + 8 : (1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : <i>x</i>))))). </div>

Набор чисел<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>каждую секунду заменяется на<var>a</var>+<var>b</var>−<var>c</var>,<var>b</var>+<var>c</var>−<var>a</var>,<var>c</var>+<var>a</var>−<var>b</var>. В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.

Чему равно произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/88272/problem_88272_img_2.gif">

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).

Найдите наименьшее натуральное число, у которого найдутся четыре различных натуральных делителя с суммой 2025.

Барон Мюнхгаузен взял несколько карточек и написал на каждой по натуральному числу (числа могут повторяться). Барон утверждает, что использовал только две различные цифры, зато когда он для каждой пары карточек нашёл сумму чисел на них, то среди первых цифр этих сумм встретились все цифры от 1 до 9. Могут ли слова барона быть правдой?

На доске написаны два натуральных числа, одно из которых получается из другого перестановкой цифр. Может ли их разность равняться $2025$? (Запись натурального числа не может начинаться с нуля.)

Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на 17 частей. Могли ли все части оказаться равными по массе? (Объединять части нельзя.)

Объем бутылки кваса – 1,5 литра. Первый выпил половину бутылки, второй – треть того, что осталось после первого, третий – четверть оставшегося от предыдущих, и так далее, четырнадцатый – пятнадцатую часть оставшегося. Сколько кваса осталось в бутылке?

В ряд записаны всевозможные правильные несократимые дроби, знаменатели которых не больше ста. Маша и Света ставят знаки "+" или "–' перед любой дробью, перед которой знак еще не стоит. Они делают это по очереди, но известно, что Маше придётся сделать последний ход и вычислить результат действий. Если он получится целым, то Света даст ей шоколадку. Сможет ли Маша получить шоколадку независимо от действий Светы?

За контрольную работу каждый из 25 школьников получил одну из оценок "3", "4" или "5". На сколько больше было пятёрок, чем троек, если сумма всех оценок равна 106?

Поставьте в каждом из шести чисел по одной запятой так, чтобы равенство стало верным:  2016 + 2016 + 2016 + 2016 + 2016 = 46368.

Имеется набор из двух карточек: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_3.gif">. За одну операцию разрешается составить выражение, использующее числа на карточках, арифметические действия, скобки. Если его значение – целое неотрицательное число, то его выдают на новой карточке. (Например, имея карточки <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_4.gif">, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_5.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65109/problem_65109_img_6.gif&quot...

Используя три различных знака арифметических действий и знак равенства, получите верное равенство из записи сегодняшней даты: 16032014.

Докажите, что если из числа 111...1 (2002 единицы) вычесть число 22...2 (1001 двойка), то получится полный квадрат.