Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 9-10 класса - сложность 1 с решениями

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполнено неравенство  (<i>n</i> – 1)^<i>n</i>+1(<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1 < <i>n</i>^2<i>n</i>.

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Из четырёх неравенств  2<i>x</i> > 70,  <i>x</i> < 100,  4<i>x</i> > 25  и  <i>x</i> > 5  два истинны и два ложны. Найдите значение <i>x</i>, если известно, что оно целое.

Найдите наибольшее натуральное <i>n</i>, при котором  <i>n</i>²⁰⁰ < 5³⁰⁰.

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Найти наименьшее значение выражения  <i>x</i> + ¹/_4<i>x</i>  при положительных значениях <i>x</i>.

Докажите, что при любом <i>a</i> имеет место неравенство:   3(1 + <i>a</i>² + <i>a</i>⁴) ≥ (1 + <i>a + a</i>²)².

Доказать, что если целое  <i>n</i> > 1,  то  1¹·2²·3³·...·<i>nⁿ < n</i>^{<i>n</i>(<i>n</i>+1)/2}.

Сколько действительных решений имеет система двух уравнений с тремя неизвестными:

   <i>x + y</i> = 2,

   <i>xy – z</i>² = 1 ?

Известно, что значения выражений ^<i>b</i>/_<i>a</i> и ^<i>b</i>/_<i>c</i> находятся в интервале  (–0,9, –0,8).  В каком интервале лежат значения выражения ^<i>c</i>/_<i>a</i>?

Предположим, что имеется набор функций  <i>f</i>₁(<i>x</i>), ...,  <i>f_n</i>(<i>x</i>), определённых на отрезке  [<i>a, b</i>].  Докажите неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61400/problem_61400_img_2.gif"> </div>

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (1 +^<i>x</i>/_<i>y</i>)(1 +^<i>y</i>/_<i>z</i>)(1 +^<i>z</i>/_<i>x</i>) ≥ 8.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61379/problem_61379_img_2.gif">

Докажите для положительных значений переменной неравенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61364/problem_61364_img_2.gif">

Докажите для положительных значений переменных неравенство  <img width="56" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61362/problem_61362_img_2.gif"> ≤ <img width="46" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61362/problem_61362_img_3.gif">.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61360/problem_61360_img_2.gif">

Докажите неравенство для положительных значений переменных:  <i>x</i>² +<i>y</i>² + 1 ≥<i>xy + x + y</i>.

Докажите неравенство   <img width="41" height="38" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61356/problem_61356_img_2.gif"> ≤ <img width="51" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61356/problem_61356_img_3.gif">   для положительных значений переменных.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:

<img width="114" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_2.gif"> ≥ <img width="33" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_3.gif"> + <img width="33" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61355/problem_61355_img_4.gif">.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (<i>a + b + c + d</i>)² ≤ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²).

Докажите, что   <img width="73" height="61" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61353/problem_61353_img_2.gif"> ≥ <img width="43" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61353/problem_61353_img_3.gif">.

Докажите неравенство  2^{<i>m+n</i>–2} ≥ <i>mn</i>,  где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.

Докажите неравенство:  2<i>ⁿ > n</i>.

Докажите неравенство для натуральных  <i>n</i> > 1:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">