Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 5-7 класса - сложность 3-5 с решениями

Найдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством:  7<i>p</i> + 1  делится на <i>q</i>, а  7<i>q</i> + 1  делится на <i>p</i>.

Может ли в наборе из шести чисел  (<i>a, b, c</i>, ^<i>a</i>²/_<i>b</i>, ^<i>b</i>²/_<i>c</i>, ^<i>c</i>²/_<i>a</i>},  где <i>a, b, c</i> – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.

Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что <i>n</i> недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число <i>n</i>?

Найдется ли такое <i>n</i>, при котором  <img align="middle" src="/storage/problem-media/88296/problem_88296_img_2.gif" width="141" height="41"> ?   А больше 1000?

Укажите какое-нибудь целое положительное <i>n</i>, при котором

  а)  1,001^<i>n</i> > 10;

  б)  0,999^<i>n</i> < 0,1.

а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше &frac25; общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше &frac25;. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше ⁴/₇ общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе. б) Пусть в <i>k</i>-м походе, где  1 ≤ <i>k ≤ n</i>,  мальчики составляли α_<i>k</i>-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из <i>n</i> походов)?

Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

Что больше:

  а)  ¹/₁₀₁ + ¹/₁₀₂ + ... + ¹/₁₉₉ + ¹/₂₀₀  или ¹/₂ ?

  б) ¹/₂·³/₄·⁵/₆·...·⁹⁷/₉₈·⁹⁹/₁₀₀  или ¹/₁₀ ?

а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?

б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?

Докажите, что если  <i>x + y + z ≥ xyz</i>,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

  1)  <i>a + b < c + d</i>;

  2)  (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);

  3)  (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>

неверно.

Сумма положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> равна ½. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30908/problem_30908_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30893/problem_30893_img_2.gif">.

Рассмотрим число   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30859/problem_30859_img_2.gif">   Докажите, что оно а) меньше ¹/₁₀;   б) меньше ¹/₁₂;   в) больше ¹/₁₅.

Найдите наибольшее из чисел  5¹⁰⁰, 6⁹¹, 7⁹⁰, 8⁸⁵.