Олимпиадные задачи по математике для 1-10 класса

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.

Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?

В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.

 <i>k</i> ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в <i>k</i> целых точках значения среди чисел от 1 до  <i>k</i> – 1,  то эти значения равны.

В выражении  (<i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2)²⁰⁰⁶  раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.

Докажите, что при некоторой степени переменной <i>x</i> получился отрицательный коэффициент.

В трёхмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество $K$, что любые два разных куба из $K$ не имеют параллельных рёбер.

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.

Существует ли целое $n>1$, удовлетворяющее неравенству $$[\sqrt{n-2} + 2\sqrt{n+2}] < [\sqrt{9n+6}]?$$ (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Дана треугольная пирамида $SABC$, основание которой – равносторонний треугольник $ABC$, а все плоские углы при вершине $S$ равны $\alpha$. При каком наименьшем $\alpha$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

Даны два взаимно простых числа $p, q$, больших 1 и различающихся больше чем на 1. Докажите, что найдётся натуральное $n$, для которого НОК($p + n, q + n$) < НОК($p, q$).

Существует ли вписанный в окружность $N$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если

  а)  $N$ = 19;

  б)  $N$ = 20?

Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Докажите, что любая натуральная степень многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2  имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.

На окружности расставлено несколько положительных чисел, каждое из которых не больше 1. Докажите, что можно разделить окружность на три дуги так, что суммы чисел на соседних дугах будут отличаться не больше чем на 1. (Если на дуге нет чисел, то сумма на ней считается равной нулю.)

Есть шесть монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен).

Как за три взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?

Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить на две группы так, чтобы в обеих группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы?

Число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64453/problem_64453_img_2.gif">  представили в виде несократимой дроби.

Докажите, что если  3<i>n</i> + 1  – простое число, то числитель получившейся дроби делится на  3<i>n</i> + 1.