а) Пусть такой 19-угольник существует. Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на его последовательные стороны. Все они разные, и сумма каждых двух углов, соответствующих соседним сторонам, целая (она дополняет один из углов 19-угольника до 180°. Рассмотрим два случая.

  1) Все эти вписанные углы выражаются целым числом градусов. Тогда их сумма не меньше  1° + 2° + ... + 19° > 180°,  что невозможно.

  2) Есть угол с ненулевой дробной частью ε. Тогда у соседнего угла дробная часть равна  1 – ε,  у следующего – снова ε и т.д. Поскольку 19 – нечётное число, то  ε = 0,5.  Но тогда сумма углов, опирающихся на все стороны, не меньше  (0,5° + 1,5° + 2,5° + ... + 18,5°) = 0,5(1° + 3° + 5° + ... + 37°) = 0,5·361° > 180°.  Снова противоречие.   б) Пример. Пусть вписанные углы, опирающиеся на последовательные стороны 20-угольника, равны 4,4°, 4,6°, 5,4°, 5,6°, ..., 13,4°, 13,6°. Сумма этих чисел равна  2(4° + 5° + ... + 13°) + 10° = 180°.  Каждый угол 20-угольника равен 180° минус сумма двух соседних из указанного списка углов, а все эти суммы целые.

а) Не существует.   б) Существует.