Допустим, такой 19-угольник существует.

Рассмотрим градусные меры $19$ центральных углов, опирающихся на стороны: $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{19}$. Угол между $(i+1)$-й и $i$-й сторонами, измеренный в градусах, равен $$ \frac{360-\alpha_{i}-\alpha_{i+1}}{2}, $$ а значит, это число целое для любого $1\leqslant i\leqslant 19$ (для удобства записи считаем, что $\alpha_{20}=\alpha_1$). Это означает, что $\alpha_i+\alpha_{i+1}$ — целое четное число.

Тогда \begin{align*} \alpha_{1}=&(\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_{19})-\ &-(\alpha_2+\alpha_3)-(\alpha_4+\alpha_5)-\dots-(\alpha_{18}+\alpha_{19})=\ =&360-(\alpha_2+\alpha_3)-(\alpha_4+\alpha_5)-\dots-(\alpha_{18}+\alpha_{19}) \end{align*} тоже целое четное число. Аналогично можно доказать, что каждое $\alpha_i$ — целое четное число.

Поскольку все стороны в 19-угольнике разные, то и центральные углы, опирающиеся на них, должны быть разными, то есть $\alpha_i\neq \alpha_j$.

Тогда $360=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_{19}\geqslant 2+4+\dots+38=19\cdot(2+38)/2=380$. Противоречие.

Нет.