Олимпиадные задачи по математике для 8-10 класса

Дима увидел в музее странные часы (см. рисунок). Они отличаются от обычных часов тем, что на их циферблате нет цифр и вообще непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы?

(Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116964/problem_116964_img_2.gif"></div>

На дверце сейфа написано произведение степеней<i>a</i>^<i>n</i><i>b</i>^<i>m</i><i>c</i>^<i>k</i>. Чтобы дверца открылась, надо заменить каждую из шести букв натуральным числом так, чтобы в произведении получился куб натурального числа. Пинки, не подумав, уже заменил какие-то три буквы числами. Всегда ли Брейн сможет заменить три оставшиеся, чтобы дверца открылась?

Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?

Дан треугольник <i>ABC</i> и построена вневписанная окружность с центром <i>O</i>, касающаяся стороны <i>BC</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>O</i>₁ симметрична точке <i>O</i> относительно прямой <i>BC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>, если известно, что точка <i>O</i>₁ лежит на описанной около треугольника <i>ABC</i> окружности.

Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями.

Докажите, что трапеция равнобокая.

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два – прямые.

Найдите наибольший объём пирамиды.

Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае. (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.)

Невыпуклый <i>n</i>-угольник разрезали прямолинейным разрезом на три части, после чего из двух частей сложили многоугольник, равный третьей части. Может ли <i>n</i> равняться

  а) 5?

  б) 4?

Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.

У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?

В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?

Дима живёт в девятиэтажном доме. Он спускается на лифте со своего этажа на первый за 1 минуту. Из-за маленького роста Дима не достаёт до кнопки своего этажа. Поэтому, поднимаясь наверх, он нажимает ту кнопку, до которой может дотянуться, а дальше идёт пешком. Весь путь наверх занимает 1 минуту 10 секунд. Лифт движется вверх и вниз с одинаковой скоростью, а Дима поднимается вдвое медленнее лифта. На каком этаже живет Дима?

Разрежьте какой-нибудь квадрат на квадратики двух разных размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших.

Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?

В четырехугольниках $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны соответствующие углы. Кроме того, $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $BD=B_1D_1$. Обязательно ли четырехугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны?

Приведите пример таких целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$, среди которых нет одинаковых, что $a^b=c^d$ и $b^a=d^c$.

На клетчатой бумаге отмечены 6 точек (см. рисунок). Проведите три прямые так, чтобы одновременно выполнялись три условия: <ul> <li> каждая отмеченная точка лежала хотя бы на одной из этих прямых,</li> <li> на каждой прямой лежало хотя бы две отмеченные точки,</li> <li> все три проведённые прямые пересекались бы в одной точке (не обязательно отмеченной).</li> </ul> <img src="/storage/problem-media/66627/problem_66627_img_2.png">

В парке два года проводили озеленительные работы: спиливали старые и сажали новые деревья. Руководители проекта заявляют, что за два года средний прирост количества деревьев составляет $15%$. Экологи говорят, что за два года количество деревьев уменьшилось на $10%$. Может ли и то и другое быть правдой? (Если количество деревьев за год увеличилось, то прирост считается положительным, если уменьшилось – то отрицательным. Средний прирост за два года руководители вычисляют как $(a+b)/2$, где $a$ – прирост за первый год, $b$ – за второй.)

Найдите наименьшее натуральное число <i>n</i>, для которого <i>n</i>² + 20<i>n</i> + 19 делится на 2019.

В семье Бесфамильных принято подсчитывать возраст семьи, то есть сумму возрастов (число полных лет) папы, мамы и всех детей. 31 декабря Бесфамильные празднуют день рождения своей семьи. В год, когда родился младший ребёнок Вася, семье был 101 год. Через несколько лет Бесфамильные праздновали свое 150-летие. Сколько детей в семье Бесфамильных?

Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?

Одуванчик утром распускается, три дня цветет жёлтым, на четвёртый день утром становится белым, а к вечеру пятого дня облетает. В понедельник днем на поляне было 20 жёлтых и 14 белых одуванчиков, а в среду – 15 жёлтых и 11 белых. Сколько белых одуванчиков будет на поляне в субботу?

Одуванчик утром распускается, два дня цветёт жёлтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днем на поляне было 20 жёлтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня 15 жёлтых и 11 белых.

  а) Сколько жёлтых одуванчиков было на поляне позавчера?

  б) Сколько белых одуванчиков будет на поляне завтра?

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>A</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>C</i>. График другого пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>B</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>D</i>. (<i>O</i> – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники <i>AOC</i> и <i>BOD</i> подобны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/32897/problem_32897_img_2.gif"></div>