Олимпиадные задачи по математике для 11 класса
Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?
B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.
Cередины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Oказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведённые отрезки равны.
Дан четырёхугольник <i>ABCD. A', B', C'</i> и <i>D'</i> – середины сторон <i>BC, CD, DA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что <i>AA' = CC'</i> и <i>BB'</i> = <i>DD'</i>.
Bерно ли, что <i>ABCD</i> – параллелограмм?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> соответственно так, что <i>S<sub>KMC</sub> + S<sub>KAC</sub> = S<sub>ABC</sub></i>.
Докажите, что все такие прямые <i>MK</i> проходят через одну точку.
Даны две пересекающиеся окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub>. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> на наибольшее расстояние.
В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения <i>A'B'</i> и <i>CC'</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения <i>A'C'</i> и <i>BB'</i>.
Докажите, что ∠<i>PAC</i> = ∠<i>QAB</i>.
Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $K$. Отрезки $CM$ и $AK$ пересекаются в точке $E$. Оказалось, что $\angle MEA = \angle ABC$. Докажите, что середины всевозможных отрезков $MK$ лежат на одной прямой.
В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую.
Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.
На клетчатой бумаге нарисовали треугольник, один из углов которого равен $45^{\circ}$ (см.рис.). Найдите значения остальных углов. <img src="/storage/problem-media/66797/problem_66797_img_2.png">
На биссектрисе <i>AA</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>X</i>. Прямая <i>BX</i> пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>B</i><sub>1</sub>, а прямая <i>CX</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>P</i>, а отрезки <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что углы <i>PAC</i&g...