Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Из вершины <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> опущен перпендикуляр <i>BM</i> на биссектрису угла <i>C</i>. Пусть <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>.
Найдите угол <i>MKB</i>, если известно, что ∠<i>BAC</i> = α.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Из вершин <i>B</i> и <i>C</i> опущены перпендикуляры <i>BM</i> и <i>CN</i> на биссектрисы углов <i>C</i> и <i>B</i> соответственно.
Докажите, что прямая <i>MN</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках их касания с вписанной окружностью.
Дан треугольник <i>ABC</i> площади 1. Из вершины <i>B</i> опущен перпендикуляр <i>BM</i> на биссектрису угла <i>C</i>. Найдите площадь треугольника <i>AMC</i>.
Дана окружность и точка <i>К</i> внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку <i>К</i>, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.
Дана окружность радиуса <i>R</i>. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна <i>R</i>, касаются её изнутри.
Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Две окружности с центрами в вершинах <i>A</i> и <i>C</i> проходят через <i>D</i>. Прямая <i>l</i> проходит через <i>D</i> и вторично пересекает окружности в точках <i>X, Y</i>. Докажите, что <i>BX = BY</i>.
Внутри прямого угла с вершиной $O$ расположен треугольник $OAB$ с прямым углом $A$. Высота треугольника $OAB$, опущенная на гипотенузу, продолжена за точку $A$ до пересечения со стороной угла $O$ в точке $M$. Расстояния от точек $M$ и $B$ до второй стороны угла $O$ равны $2$ и $1$ соответственно. Найдите $OA$.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.