Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями
B треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно <i>AB + AC</i>.
В остроугольном треугольнике проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i> на прямую <i>AC</i>, проходит через центр вписанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>CB</i><sub>1</sub>.
Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?
Верно ли, что при любом <i>n</i> правильный 2<i>n</i>-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем <i>n</i> + 2 грани?
В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S<sub>PAQ</sub> < S<sub>BMC</sub></i>?
На сторонах угла взяты точки <i>A, B</i>. Через середину <i>M</i> отрезка <i>AB</i> проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, другая – в точках <i>A</i><sub>2</sub> , <i>B</i><sub>2</sub>. Прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекают <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>M</i> – середина <i>PQ</i>.
Дана окружность, точка<i> A </i>на ней и точка<i> M </i>внутри нее. Рассматриваются хорды<i> BC </i>, проходящие через<i> M </i>. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников<i> ABC </i>, касаются некоторой фиксированной окружности.
Окружности Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>B</i> проведена прямая, вторично пересекающая Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Прямая <i>l</i><sub>1</sub> касается Ω<sub>1</sub> в точке <i>Q</i> и параллельна прямой <i>AM</i>. <i>R</i> – вторая точка пересечения прямой <i>QA</i> с Ω<sub>2</sub>. Докажите, что
а) касательная <i>l</i><sub>2</sub>, проведённая к Ω<sub>2</sub> в точке <i>R</i>, параллельна <i>AK</i>.;
б) прямые <i...
Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.
Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)
На плоскости даны три прямые <i>l</i><sub>1</sub>, <i>l</i><sub>2</sub>, <i>l</i><sub>3</sub>, образующие треугольник, и отмечена точка <i>O</i> – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки <i>X</i> плоскости обозначим через <i>X<sub>i</sub></i> точку, симметричную точке <i>X</i> относительно прямой <i>l<sub>i</sub></i>, <i>i</i> = 1, 2, 3.
а) Докажите, что для произвольной точки <i>M</i> прямые, соединяющие середины отрезков <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub> и <i>M</i><sub>1</sub><i>M</i>...