Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями
Докажите, что если1<i><a<b<c </i>, то <center><i>
log <sub>a</sub></i>(<i>log <sub>a</sub> b</i>)<i>+log <sub>b</sub> </i>(<i>log <sub>b</sub> c</i>)<i>+log <sub>c</sub></i>(<i>log <sub>c</sub>a</i>)<i>></i>0<i>. </i></center>
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.
В турнире по теннису <i>n</i> участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких <i>n</i> возможен такой турнир?
Найдите все функции<i> f</i>(<i>x</i>), определенные при всех положительных<i> x </i>, принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>равенству<i> f</i>(<i>x<sup>y</sup></i>)<i>=f</i>(<i>x</i>)<i><sup>f</sup></i>(<i>y</i>).
В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?
Найдите максимальное число <i>N</i>, для которого существуют такие <i>N</i> последовательных натуральных чисел, что сумма цифр первого числа делится на 1, сумма цифр второго числа – на 2, сумма цифр третьего числа – на 3, ..., сумма цифр <i>N</i>-го числа – на <i>N</i>.
В однокруговом шахматном турнире назовём партию <i>неправильной</i>, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.
Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
Существует ли такое шестизначное число <i>A</i>, что среди чисел <i>A</i>, 2<i>A</i>, ..., 500000<i>A</i> нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?
Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?
Натуральное число $N$ кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причём если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа $N$ такое возможно?
Докажите, что можно найти бесконечно много таких пар целых чисел, что в десятичной записи каждого числа все цифры не меньше 7 и произведение чисел каждой пары – тоже число, где все цифры не меньше 7.
Есть лист жести размером 6×6. Разрешается надрезать его, но так, чтобы он не распадался на части, и сгибать.
Как сделать куб с ребром 2, разделённый перегородками на единичные кубики?