Олимпиадная задача: количество вариантов таблицы 4×4 с заменой знаков (+/–)

  Будем считать, что в каждой клетке находится кнопка, нажимая на которую мы меняем знак в этой клетке и во всех соседних.

  Оценка снизу. Заметим, что, нажимая кнопки во второй строке, можно привести в произвольное состояние первую строку (каждая кнопка меняет знак в клетке над ней и не меняет состояние остальных клеток первой строки). После этого, нажимая кнопки в третьей строке, можно получить произвольный набор знаков во второй строке, и наконец, нажимая кнопки четвёртой строки, получить произвольную третью строку. Итак, из любой таблицы можно получить не менее 2¹² различных таблиц (отличающихся уже в первых трёх строках).

  Оценка сверху.   Первый способ. Изначально у нас есть 16 кнопок. Назовём 12 кнопок в белых клетках белыми, а 4 в серых – серыми (см. рис.). Результата от нажатия серой кнопки можно достичь, нажав вместо этого несколько белых (для верхней серой кнопки – это белые кнопки, помеченные точками; для остальных трёх серых кнопок нужный набор белых получается поворотами рисунка на 90°, 180° и 270°).

  Итак, если таблицу можно получить, то достаточно последовательности нажатий белых кнопок. Ясно, что результат не зависит от порядка нажатий, поэтому пару нажатий на одну и ту же кнопку можно выкинуть. В итоге оставшиеся в последовательности кнопки будут нажаты по разу. Итак, каждой искомой таблице соответствует набор белых кнопок, нажатием которых она получается. Но таких наборов (а, значит, и таблиц) не более 2¹².

 Второй способ. Легко проверить, что каждая операция меняет состояние чётного числа изпомеченныхточками клеток. Поэтому чётность количества плюсов на помеченных клетках остаётся той же, что и в исходной таблицеA. Тем самым знак всерой помеченнойклетке определяется чётностью количества плюсов вбелых помеченныхклетках.   Поворачивая рисунок на 90°, 180° и 270° убеждаемся в том, что знаки в четырёхсерыхклетках полученной после операций таблицы полностью определяются остальными 12 знаками (расположенных вбелыхклетках) этой таблицы (и исходной таблицейA). Это означает, что изAможно получитьне более2¹²различных таблиц.

Ответ задачи отсутствует