Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 2-5 с решениями
Вокруг выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника <i>ABCD</i>, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub>, равный треугольнику <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и такой, что прямые <i>AA</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>2</sub> и <i>CC</i><sub>2</sub> будут параллельны?
Дан квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>. Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>. Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке <i>C</i>, а вторую – в точке <i>D</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>BD</i>, не содержащих точку <i>A</i>, а <i>K</i> – середина отрезка <i>CD</i>. Докажите, что угол <i>MKN</i> прямой. (Можно считать, что точки <i>C</i> и <i>D</i> лежат по разные стороны от точки <i>A</i>.)
<center><i> <img src="/storage/problem-media/109632/problem_109632_img_2.gif"> </i></center> Центры<i> O<sub>1</sub> </i>,<i> O<sub>2</sub> </i>и<i> O<sub>3</sub> </i>трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек<i> O<sub>1</sub> </i>,<i> O<sub>2</sub> </i>и<i> O<sub>3</sub> </i>проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих о...
Как-то Кролик торопился на встречу с осликом Иа-Иа, но к нему неожиданно пришли Винни-Пух и Пятачок. Будучи хорошо воспитанным, Кролик предложил гостям подкрепиться. Пух завязал салфеткой рот Пятачку и в одиночку съел 10 горшков мёда и 22 банки сгущенного молока, причём горшок мёда он съедал за 2 минуты, а банку молока – за минуту. Узнав, что больше ничего сладкого в доме нет, Пух попрощался и увёл Пятачка. Кролик с огорчением подумал, что он бы не опоздал на встречу с осликом, если бы Пух поделился с Пятачком. Зная, что Пятачок съедает горшок мёда за 5 минут, а банку молока – за 3 минуты, Кролик вычислил наименьшее время, за которое гости смогли бы уничтожить его запасы. Чему равно это время? (Банку молока и горшок мёда можно делить на любые части.)
Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>2</sub> </i>,<i> D<sub>1</sub> </i>и<i> D<sub>2</sub> </i>960. Докажите, что если<i> A<sub>1</sub>B<sub>2</sub>=B<sub>1</sub>C<sub>2</sub>=C<sub>1</sub>D<sub>2</sub>=D<sub>1</sub>A<sub>2</sub> </i>, то четырехугольник, образованный прямыми<i> A<sub>1</sub...
Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число <i>k</i>, то первые <i>k</i> чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.
Окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Через точку <i>A</i> окружности <i>S</i><sub>1</sub> проведены прямые <i>AM</i> и <i>AN</i>, пересекающие окружность <i>S</i><sub>2</sub> в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а через точку <i>D</i> окружности <i>S</i><sub>2</sub> – прямые <i>DM</i> и <i>DN</i>, пересекающие <i>S</i><sub>1</sub> в точках <i>E</i> и <i>F</i>, причём точки <i>A, E, F</i> лежат по одну сторону от прямой <i>MN</i>,...
Точки<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2– середины высот<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1остроугольного треугольника<i> ABC </i>. Найдите сумму углов<i> B</i>2<i>A</i>1<i>C</i>2,<i> C</i>2<i>B</i>1<i>A</i>2и<i> A</i>2<i>C</i>1<i>B</i>2.
В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются <i>непохожими</i>, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
б) А может ли быть ровно 50?
На двух сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> правильного 2<i>n</i>-угольника взято по точке <i>K</i> и <i>N</i>, причём угол <i>KEN</i>, где <i>E</i> – вершина, противоположная <i>B</i>, равен <sup>180°</sup>/<sub>2<i>n</i></sub>. Докажите, что <i>NE</i> – биссектриса угла <i>KNC</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>AD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>N</i> соответственно. При этом <!-- MATH $AK\cdot AN = 2BK\cdot DN$ --> <i>AK</i><sup> . </sup><i>AN</i> = 2<i>BK</i><sup> . </sup><i>DN</i>. Отрезки <i>CK</i> и <i>CN</i> пересекают диагональ <i>BD</i> в точках <i>L</i> и <i>M</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>L</i>, <i>M</i>, <i>N</i> и <i>A</i> лежат на одной окружности.
На сторонах <i>AB, BC, CD, DA</i> прямоугольника <i>ABCD</i> взяты соответственно точки <i>K, L, M, N</i>, отличные от вершин. Известно, что <i>KL || MN</i> и
<i>KM</i> ⊥ <i>NL</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков <i>KM</i> и <i>LN</i> лежит на диагонали <i>BD</i> прямоугольника.