Олимпиадные задачи по математике для 3-11 класса - сложность 4 с решениями
Дано конечное множество простых чисел <i>P</i>. Докажите, что найдётся такое натуральное число <i>x</i> , что оно представляется в виде <i>x = a<sup>p</sup> + b<sup>p</sup></i> (с натуральными <i>a, b</i>) при всех <i>p</i> ∈ <i>P </i> и не представляется в таком виде для любого простого <i>p</i> ∉ <i>P</i>.
Найдите все такие пары (<i>x, y</i>) натуральных чисел, что <i>x + y = a<sup>n</sup>, x</i>² + <i>y</i>² = <i>a<sup>m</sup></i> для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.
На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?
Докажите, что<i> sin<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_2.gif"><<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_3.gif"> </i>при0<i><x<<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_4.gif"> </i>.
Натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что 2<i>x</i>² – 1 = <i>y</i><sup>15</sup>. Докажите, что если <i>x</i> > 1, то <i>x</i> делится на 5.
Натуральные числа <i>x, y, z</i> (<i>x</i> > 2, <i>y</i> > 1) таковы, что <i>x<sup>y</sup></i> + 1 = <i>z</i>². Обозначим через <i>p</i> количество различных простых делителей числа <i>x</i>, через <i>q</i> – количество различных простых делителей числа <i>y</i>. Докажите, что <i>p ≥ q</i> + 2.
Пусть<i> M={x<sub>1</sub>, .., x</i>30<i>} </i>– множество, состоящее из 30 различных положительных чисел;<i> A<sub>n</sub> </i>(1<i><img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> n<img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> </i>30) – сумма всевозможных произведений различных<i> n </i>элементов множества<i> M </i>. Докажите, что если<i> A</i>15<i>>A</i>10, то<i> A<sub>1</sub>></i>1.
Докажите, что для всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_2.gif"></i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_3.gif"></i>)при<i> n>m </i>, где<i> n,m </i>– натуральные, справедливо неравенство <center>2<i>| sin<sup>n</sup> x- cos<sup>n</sup> x|<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_4.gif"> </i>3<i>| sin<sup>m</sup> x- cos<sup>m</sup> x|; </i></center>
Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых взаимно простых <i>x</i> и <i>y</i> и натуральном <i>k</i> > 1, выполняется равенство 3<i><sup>n</sup> = x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup></i>.
Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.
Доказать, что существует бесконечно много таких составных <i>n</i>, что 3<sup><i>n</i>–1</sup> – 2<sup><i>n</i>–1</sup> кратно <i>n</i>.
Решите в натуральных числах уравнение (1 + <i>n<sup>k</sup></i>)<sup><i>l</i></sup> = 1 + <i>n<sup>m</sup></i>, где <i>l</i> > 1.
Пусть 1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> = <i>F</i>(<i>x</i>)<i>G</i>(<i>x</i>), где <i>F</i> и <i>G</i> – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (<i>n</i> > 1).
Докажите, что один из многочленов <i>F</i>, <i>G</i> представим в виде (1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i><sup><i>k</i>–1</sup>)<i>T</i>(<i>x</i>), где <i>T</i>(<i>x</i>) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (<i>k</i> > 1).