Олимпиадная задача по теории чисел для 9-11 класса: уравнение с биномом Ньютона

  Пусть p – простой множитель числа l. Число  n^m = (1 + n^k)^l – 1  делится на  (1 + n^k)^p – 1.  Но это выражение равно  pn^k + ½ p(p – 1)n^2k + rn^3k,  где r – неотрицательное целое число. Разделив на n^k, получим  p + ½ p(p – 1)n^k + rn^2k.  Если n не делится на p, то это выражение взаимно просто с n, и n^m не может на него делиться. Значит, p – делитель n. Тогда   1 + ½ (p – 1)n^k + ^rn2k/_p   – натуральное число, большее единицы. Если  k > 1  или p нечётно, то второе слагаемое кратно n (третье всегда кратно n), а сумма взаимно проста с n, и n^m не может на неё делиться. Следовательно,  k = 1 , а l – степень двойки.

  Вспомним теперь, что  n^m = (1 + n^k)^l – 1 = (1 + n)^l – 1 = ln + ...  В правой части все члены, начиная со второго, кратны n². Из этого, поскольку  m > 1,  следует, что l кратно n. Значит, n, как и l, является степенью двойки. Тогда  n^m = (1 + n)^l – 1  делится на  (1 + n)² – 1 = (n + 2)n,  откуда  n + 2  – также степень двойки. Следовательно,  n = 2.

  При  l > 2  разность  (1 + n)^l – 1 = 3^l – 1  кратна  3² + 1 = 10,  а это – не степень двойки. Значит,  l = 2,  откуда  m = 3.

n = 2,  k = 1,  l = 2,  m = 3.