Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-5 с решениями
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116727/problem_116727_img_2.gif"> .
100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.
Квадрат <i>ABCD</i> разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура <i>F</i> является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю <i>AC</i>. Докажите, что <i>AC</i> делит площадь фигуры <i>F</i> пополам.
При каких натуральных <i>n</i> > 1 существуют такие натуральные <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i> (не все из которых равны), что при всех натуральных <i>k</i> число
(<i>b</i><sub>1</sub> + <i>k</i>)(<i>b</i><sub>2</sub> + <i>k</i>)...(<i>b<sub>n</sub> + k</i>) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от <i>k</i>, но должен быть больше 1.)
На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.
Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AD = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i></sub>. Найдите сумму <i>n</i> – 1 углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:
а) при <i>n</i> = 3;
б) при произвольном <i>n</i>.
В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AD = <sup>AB</sup></i>/<sub><i>n</i></sub>.
Докажите,что сумма <i>n</i> – 1 углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей, равна 30°:
а) при <i>n</i> = 3;
б) при произвольном <i>n</i>.
Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.
Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.