Олимпиадные задачи по математике для 4-10 класса - сложность 3 с решениями

На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.

Квадрат разрезали на конечное число прямоугольников. Обязательно ли найдётся отрезок, соединяющий центры (точки пересечения диагоналей) двух прямоугольников, не имеющий общих точек ни с какими другими прямоугольниками, кроме этих двух?

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

На острове живут100рыцарей и100лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно100человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.

Последовательность(<i>a_n</i>)задана условиями<i> a₁= </i>1000000,<i> a_n+</i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в<i> м³ </i>) численно равен площади его поверхности (измеренной в<i> м² </i>). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?

На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?

В гоночном турнире 12 этапов и <i>n</i> участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места <i>k</i> получают баллы <i>a_k</i> (числа <i>a_k</i> натуральны, и  <i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > ... > <i>a_n</i>).  При каком наименьшем <i>n</i> устроитель турнира может выбрать числа <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Пусть <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀ – натуральные числа,  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < ... < <i>a</i>₁₀.  Пусть <i>b_k</i> – наибольший делитель <i>a_k</i>, меньший <i>a_k</i>. Оказалось, что <i>b</i>₁ > <i>b</i>₂ > ... > <i>b</i>₁₀.

Докажите, что  <i>a</i>₁₀ > 500.

Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус.

Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесённом доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры

  а) 20&times20 клеток;

  б) 50&times90 клеток?

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.

Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пересекает еще какой-нибудь прямоугольник?