Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Квадрат разрезали на несколько частей. Переложив эти части, из них всех сложили треугольник. Затем к этим частям добавили еще одну фигурку – и оказалось, что и из нового набора фигурок можно сложить как квадрат, так и треугольник. Покажите, как такое могло бы произойти (нарисуйте, как именно эти два квадрата и два треугольника могли бы быть составлены из фигурок).

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения <i>P</i>(2) и <i>P</i>(<i>P</i>(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

Шесть отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Bерно ли, что из этих отрезков можно составить тетраэдр?

<i>ABCDE</i> — правильный пятиугольник. Tочка <i>B</i>' симметрична точке <i>B</i> относительно прямой <i>AC</i> (см. рисунок). Mожно ли пятиугольниками, равными <i>AB</i>'<i>CDE</i>, замостить плоскость?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116192/problem_116192_img_2.gif"></div>

Tреугольник разбили на пять треугольников, ему подобных. Bерно ли, что исходный треугольник – прямоугольный?

Можно ли расположить на плоскости четыре равных многоугольника так, чтобы каждые два из них не имели общих внутренних точек, но имели общий отрезок границы?

Докажите, что существует многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении  2 : 1.

Петя разрезал фигуру на две равные части, как показано на рисунке. Придумайте, как разрезать эту фигуру на две равные части другим способом.

<center><i> <img src="/storage/problem-media/111637/problem_111637_img_2.gif"> </i></center>

Серёжа вырезал из картона две одинаковые фигуры. Он положил их с нахлёстом на дно прямоугольного ящика. Дно оказалось полностью покрыто. В центр дна вбили гвоздь. Мог ли гвоздь проткнуть одну картонку и не проткнуть другую?

Определите, с какой стороны расположен руль у изображенного на рисунке автомобиля. <center><img src="/storage/problem-media/110758/problem_110758_img_2.gif"></center>

Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Для произвольной точки <i>P</i> внутри треугольника рассмотрим точки <i>A'</i> и <i>C'</i> пересечения прямых <i>AP</i> с <i>BC</i> и <i>CP</i> с <i>AB</i>. Найдите геометрическое место точек <i>P</i>, для которых отрезки <i>AA'</i> и <i>CC'</i> равны.

Известно, что вершины квадрата <i>T</i> принадлежат прямым, содержащим стороны квадрата <i>P</i>, а вписанная окружность квадрата <i>T</i> совпадает с описанной окружностью квадрата <i>P</i>. Найдите углы восьмиугольника, образованного вершинами квадрата <i>P</i> и точками касания окружности со сторонами квадрата <i>T</i>, и величины дуг, на которые вершины восьмиугольника делят окружность.

Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать  а) sin ^α/₂,   б) sin ^α/₃?

Разрежьте изображённую фигуру на две части, из которых можно сложить целый квадрат 8×8.<img src="/storage/problem-media/103799/problem_103799_img_2.gif">

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,

  а) ровно одним способом?

  б) ровно двумя способами?

Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.

Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.

На плоскости даны треугольник <i>ABC</i> и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.

Через вершину <i>A</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, не пересекающая отрезок <i>BC</i>. По разные стороны от точки <i>A</i> на этой прямой взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM = AN = AB</i>  (точка <i>B</i> внутри угла <i>MAC</i>). Докажите, что прямые <i>AB, AC, BN, CM</i> образуют вписанный четырёхугольник.