Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 3-4 с решениями
Три попарно непересекающиеся окружности ω<sub><i>x</i></sub>, ω<sub><i>y</i></sub>, ω<sub><i>z</i></sub> радиусов <i>r<sub>x</sub>, r<sub>y</sub>, r<sub>z</sub></i> лежат по одну сторону от прямой <i>t</i> и касаются её в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Известно, что <i>Y</i> – середина отрезка <i>XZ</i>, <i>r<sub>x</sub> = r<sub>z</sub> = r</i>, а <i>r<sub>y</sub> > r</i>. Пусть <i>p</i> – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω<sub><i>x</i></sub> и ω<sub><i>y</i></sub>, а <i&g...
Фиксированы две окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>, одна их внешняя касательная <i>l</i> и одна их внутренняя касательная <i>m</i>. На прямой <i>m</i> выбирается точка <i>X</i>, а на прямой <i>L</i> строятся точки <i>Y</i> и <i>Z</i> так, что <i>XY</i> и <i>XZ</i> касаются <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> соответственно, а треугольник <i>XYZ</i> содержит окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники <i>XYZ</i>, лежат...
Квадратная доска разделена на <i>n</i>² прямоугольных клеток <i>n</i> – 1 горизонтальными и <i>n</i> – 1 вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все <i>n</i> клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.
Натуральное число<i>b</i>назовём<i>удачным</i>, если для любого натурального<i>a</i>, такого, что<i>a</i><sup>5</sup>делится на<i>b</i>², число<i>a</i>² делится на<i>b</i>. Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
Пете и Васе подарили одинаковые наборы из <i>N</i> гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение <i>N</i>.
По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.
Дана окружность и точка<i> P </i>внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке<i> P </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)
Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>1998</sub>. Из середины стороны <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>, ..., <i>A</i><sub>1998</sub><i>A</i><sub>1</sub> (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.
Окружности σ<sub><i>B</i></sub>, σ<sub><i>C</i></sub> – вневписанные для треугольника <i>ABC</i> (касаются соответственно сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> и продолжений двух других сторон). Окружность ω<sub><i>B</i></sub> симметрична σ<sub><i>B</i></sub> относительно середины стороны <i>AC</i>, окружность ω<sub><i>C</i></sub> симметрична σ<sub><i>C</i></sub> относительно середины стороны <i>AB</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω<sub><i>B</i></sub> и ω<sub><i>C</i></sub>, делит периметр треугольника <i>...
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> провели биссектрисы <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub></i> внешних углов при вершинах <i>A, B, C</i> и <i>D</i> соответственно. Точки пересечения прямых <i>l<sub>a</sub></i> и <i>l<sub>b</sub>, l<sub>b</sub></i> и <i>l<sub>c</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub>, l<sub>d</sub></i> и <i>l<sub>a</sub></i> обозначили через <i>K, L, M</i> и <i>N</i>. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки <i>K</i> на <i...
На плоскости дана окружность ω, точка <i>A</i>, лежащая внутри ω, и точка <i>B</i>, отличная от <i>A</i>. Рассматриваются всевозможные хорды <i>XY</i>, проходящие через точку <i>A</i>. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>BXY</i> лежат на одной прямой.
На диагонали <i>AC</i> ромба <i>ABCD</i> взята произвольная точка <i>E</i>, отличная от точек <i>A</i> и <i>C</i>, а на прямых <i>AB</i> и <i>BC</i> – точки <i>N</i> и <i>M</i> соответственно, причём
<i>AE = NE</i> и <i>CE = ME</i>. Пусть <i>K</i> – точка пересечения прямых <i>AM</i> и <i>CN</i>. Докажите, что точки <i>K, E</i> и <i>D</i> лежат на одной прямой.
Окружность, вписанная в угол с вершиной<i> O </i>касается его сторон в точках<i> A </i>и<i> B </i>,<i> K </i>– произвольная точка на меньшей из двух дуг<i> AB </i>этой окружности. На прямой<i> OB </i>взята точка<i> L </i>такая, что прямые<i> OA </i>и<i> KL </i>параллельны. Пусть<i> M </i>– точка пересечения окружности, описанной около треугольника<i> KLB </i>, с прямой<i> AK </i>, отличная от<i> K </i>. Докажите, что прямая<i> OM </i>касается окружности.
Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω<sub>2</sub> касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.
В треугольнике <i>ABC</i> через <i>O, I</i> обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ω<i><sub>a</sub></i> касается продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно, а стороны <i>BC</i> – в точке <i>N</i>. Известно, что середина <i>P</i> отрезка <i>KM</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что точки <i>O, N</i> и <i>I</i> лежат на одной прямой.
Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>H</i> – точка пересечения высот, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Известно, что отрезки <i>IO || BC</i>. Докажите, что отрезки <i>AO || HK</i>.
Отрезок <i>AB</i> пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой <i>AB</i> с окружностями лежат между <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>A</i> проводятся касательные к окружности, ближайшей к <i>A</i>, через точку <i>B</i> – касательные к окружности, ближайшей к <i>B</i>. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
По кругу стоит 99 тарелок, на них лежат булочки (на тарелке может быть любое число булочек или вовсе их не быть). Известно, что на любых 20 подряд идущих тарелках лежит суммарно хотя бы $k$ булочек. При этом ни одну булочку ни с одной тарелки нельзя убрать так, чтобы это условие не нарушилось. Какое наибольшее суммарное число булочек может лежать на тарелках?
Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём<i>удачным</i>, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.
Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.<img height="250" src="/storage/problem-media/67495/problem_67495_img_2.png">
Можно ли на плоскости из каждой точки с рациональными координатами выпустить луч так, чтобы никакие два луча не имели общей точки и при этом среди прямых, содержащих эти лучи, никакие две не были бы параллельны?
Взяли все 100-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра – какая-то из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из этих чисел делятся на $2^{100}$?
Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$ и $BH_B$. Прямая $H_AH_B$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $BC$, точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $CA$. Докажите, что $A', B'$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.