Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: доказательство коллинеарности в ромбе

  Рассмотрим случай, когда точки N и M лежат на сторонах ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Обозначим  ∠BAC = ∠BCA = α.   Первый способ. Пусть окружности, описанные около равнобедренных треугольников ANE и CME пересекаются в точке K₁, отличной от E. Тогда  ∠AK₁E = ∠ANE = α,  ∠EK₁M = 180° – α.  Значит, точки A, K₁ и M лежат на одной прямой. Аналогично, точки C, K₁ и N также лежат на одной прямой. Следовательно, точка K₁ совпадает с точкой K пересечения прямых AM и CN.

  Поскольку  ∠ANE = α = ∠BCE,  точки B, N, E и C лежат на одной окружности. Значит,  ∠ BEN = ∠BCN = ∠MCK = ∠MEK.

  Поскольку точки B и D симметричны относительно прямой AC, то

∠DEA = ∠BEA = ∠BEN + ∠AEN = ∠BEN + (180° – 2α) = ∠MEK + (180° – 2α) = ∠MEK + ∠CEM = ∠KEC.  Следовательно, точки K, E и D лежат на одной прямой.   Второй способ. (П. Липкин) Поскольку  ∠CEN = ∠CEM + ∠MEN = (180° – 2α) + ∠MEN = ∠AEN + ∠MEN = ∠AEM,  треугольники CEN и MEA равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,  ∠ENC = ∠KAE.  Поэтому точки A, N, K, E лежат на одной окружности. Аналогично, точки C, M, K, E также лежат на одной окружности. Следовательно,  ∠AKE = ∠ANE = α = ∠EMC = ∠CKE,  то есть KE – биссектриса угла AKC. Поскольку  ∠ADC = 180° – 2α,  а  ∠AKC = 2α,  четырёхугольник AKCD – вписанный. Продолжение биссектрисы KE треугольника AKC пересекает описанную окружность этого четырёхугольника в середине дуги AC, не содержащей точки K, то есть в точке D.

Ответ задачи отсутствует