Олимпиадные задачи из источника «2010-2011» для 11 класса

Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>N</i> – середина дуги <i>BAC</i> его описанной окружности, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Обозначим через <i>I</i>₁ и <i>I</i>₂ центры вписанных окружностей треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> соответственно. Докажите, что точки <i>I</i>₁, <i>I</i>₂, <i>A</i>, <i>N</i> лежат на одной окружности.

Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа  <i>a</i>² + 1.

Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что  <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).

Даны два различных приведённых кубических многочлена <i>F</i>(<i>x</i>) и <i>G</i>(<i>x</i>). Выписали все корни уравнений  <i>F</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>G</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>x</i>). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена <i>F</i>(<i>x</i>).

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.

На стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i>  (∠<i>A</i> < 90°)  отмечена точка <i>T</i> так, что треугольник <i>ATD</i> – остроугольный. Пусть <i>O</i>₁, <i>O</i>₂ и <i>O</i>₃ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABT</i>, <i>DAT</i> и <i>CDT</i> соответственно (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116647/problem_116647_img_2.gif"></div>Докажите, что ортоцентр треугольника<i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃лежит...

Натуральные числа <i>d</i> и  <i>d' > d</i>  – делители натурального числа <i>n</i>. Докажите, что  <i>d' > d</i> + ^<i>d</i>²/_<i>n</i>.

Даны положительные числа <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите неравенство  (<i>b</i> – <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>b</i> + <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>c</i> – <i>b</i>)²⁰¹¹ ≥ (<i>b</i>²⁰¹¹ – <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>b</i>²⁰¹¹ + <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>c</i>²⁰¹¹ – <i>b</i>²⁰¹¹).

Вася нарисовал на плоскости несколько окружностей и провёл всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведённые прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

Остроугольный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки <i>B</i> и <i>C</i>, пересекают касательную к ω, проведённую через точку <i>A</i>, в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Прямая, проведённая через <i>K</i> параллельно <i>AB</i>, пересекается с прямой, проведённой через <i>L</i> параллельно <i>AC</i>, в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>BP = CP</i>.

2011 складов соединены дорогами так, что от каждого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по  <i>x</i>₁, ..., <i>x</i>₂₀₁₁  кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по  <i>y</i>₁, ..., <i>y</i>₂₀₁₁  кг цемента соответственно, причём

<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + ... + <i>x</i>₂₀₁₁ = <i>y</i>₁ + <i>y<...

На окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, выбрана точка <i>K</i>. Оказалось, что прямая <i>CK</i> пересекает отрезок <i>AD</i> в такой точке <i>M</i>, что

<i>AM</i> : <i>MD</i> = 2.  Пусть <i>O</i> – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника <i>OKD</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>COD</i>.

Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?