Олимпиадные задачи из источника «2009-2010» для 3-10 класса - сложность 2 с решениями

Можно ли при каком-то натуральном<i> k </i>разбить все натуральные числа от 1 до<i> k </i>на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

Даны квадратные трёхчлены  <i>x</i>² + 2<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + 2<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  <i>x</i>² + 2<i>a</i>₃<i>x + b</i>₃.  Известно, что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ = <i>b</i>₁<i>b</i>₂<i>b</i>₃ > 1.

Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.

Ненулевые числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>ax</i>² + <i>bx + c > cx</i>  при любом <i>x</i>. Докажите, что  <i>cx</i>² – <i>bx + a > cx – b</i>  при любом <i>x</i>.

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

Целые числа <i>a, b, c</i> таковы, что значения квадратных трёхчленов  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i>  и  <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>  при  <i>x</i> = 1234  совпадают.

Может ли первый трёхчлен при  <i>x</i> = 1  принимать значение 2009?

В основании четырёхугольной пирамиды<i> SABCD </i>лежит параллелограмм<i> ABCD </i>. Докажите, что для любой точки<i> O </i>внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров<i> OSAB </i>и<i> OSCD </i>равна сумме объёмов тетраэдров<i> OSBC </i>и<i> OSDA </i>.

Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.

В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115349/problem_115349_img_2.gif"> ?

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.