Олимпиадные задачи из источника «2004-2005» - сложность 4 с решениями

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.

Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов. б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.

Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

Найдите все такие пары  (<i>x, y</i>)  натуральных чисел, что  <i>x + y = aⁿ,  x</i>² + <i>y</i>² = <i>a^m</i>  для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.

Даны  <i>N</i>≥ 3  точек, занумерованных числами 1, 2, ...,<i>N</i>. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем<i>однотонной</i>, если нет двух таких точек<i>A</i>и<i>B</i>, что от<i>A</i>до<i>B</i>можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.

Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади<i> S </i>отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через<i> S' </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/110176/problem_110176_img_2.gif"><</i>3.

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2&sup2, ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы уравнение  <i>x</i>&sup2 – <i>S</i>(<i>A</i>)<i>x + S</i>(<i>B</i>) = 0,  где <i>S</i>(<i>M</i>) – сумма чисел множества <i>M</i>, имело целый корень?

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.

Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что  2<i>x</i>² – 1 = <i>y</i>¹⁵.  Докажите, что если  <i>x</i> > 1,  то <i>x</i> делится на 5.

Окружности σ_<i>B</i>, σ_<i>C</i> – вневписанные для треугольника <i>ABC</i> (касаются соответственно сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> и продолжений двух других сторон). Окружность ω_<i>B</i> симметрична σ_<i>B</i> относительно середины стороны <i>AC</i>, окружность ω_<i>C</i> симметрична σ_<i>C</i> относительно середины стороны <i>AB</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω_<i>B</i> и ω_<i>C</i>, делит периметр треугольника <i&gt...

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов<i> P₁ </i>,<i> P₂ </i>,<i> P</i>12, ребра которых параллельны координатным осям<i> Ox </i>,<i> Oy </i>,<i> Oz </i>так, чтобы<i> P₂ </i>пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме<i> P₁ </i>и<i> P₃ </i>,<i> P₃ </i>пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P₂ </i>и<i> P₄ </i>, и т.д.,<i> P</i>12пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P</i...

Натуральные числа <i>x, y, z</i>  (<i>x</i> > 2,  <i>y</i> > 1)  таковы, что  <i>x^y</i> + 1 = <i>z</i>².  Обозначим через <i>p</i> количество различных простых делителей числа <i>x</i>, через <i>q</i> – количество различных простых делителей числа <i>y</i>. Докажите, что  <i>p ≥ q</i> + 2.

Пусть <i>A', B'</i> и <i>C'</i> – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника <i>ABC</i>. Описанные окружности треугольников <i>A'B'C, AB'C'</i> и <i>A'BC'</i> пересекают второй раз описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сто...

В остроугольном треугольнике проведены высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. На дуге <i>ACB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>D</i>. Пусть прямые <i>AA'</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BB'</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая <i>A'B'</i> проходит через середину отрезка <i>PQ</i>.