Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 10000 найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .
Многочлены <i>P, Q</i> и <i>R</i> с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству <i>P</i>² + <i>Q</i>² = <i>R</i>². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Докажите, что существует бесконечно много натуральных <i>n</i>, для которых числитель несократимой дроби, равной 1 + ½ + ... + <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub>, не является степенью простого числа с натуральным показателем.
В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами соединялись только площади из разных районов, и для каждых двух районов все соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во второй, либо наоборот).
Докажите, что для всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_2.gif"></i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_3.gif"></i>)при<i> n>m </i>, где<i> n,m </i>– натуральные, справедливо неравенство <center>2<i>| sin<sup>n</sup> x- cos<sup>n</sup> x|<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_4.gif"> </i>3<i>| sin<sup>m</sup> x- cos<sup>m</sup> x|; </i></center>
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Пусть <i>A'</i> – точка касания вневписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Прямая <i>a</i> проходит через точку <i>A'</i> и параллельна биссектрисе внутреннего угла <i>A</i>. Аналогично строятся прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> пересекаются в одной точке.