Олимпиадные задачи из источника «09 (1986)» для 9 класса

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

<i>a, b, c, d</i> – стороны четырёхугольника (в любом порядке), <i>S</i> – его площадь. Докажите, что  <i>S</i> ≤ ½ (<i>ab + cd</i>).

Из шахматной доски вырезали одну угловую клетку. На какое наименьшее число равновеликих треугольников можно разрезать эту фигуру?

Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.

"Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на <i>N</i> клеток в перпендикулярном направлении (при  <i>N</i> = 2  "крокодил" – это шахматный конь).

При каких <i>N</i> "крокодил" может пройти с каждой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую?

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, <i>a</i>₅, <i>a</i>₆ – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что  <i>a</i>₁ – <i>a</i>₄ = <i>a</i>₃ – <i>a</i>₆ = <i>a</i>₅ – <i>a</i>₂.

Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.

Известно, что  <i>a + b + c</i> = 5  и  <i>ab + bc + ac</i> = 5.  Чему может равняться  <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²?

Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.