Олимпиадные задачи из источника «27 турнир (2005/2006 год)» для 2-7 класса - сложность 1-5 с решениями

На каждой клетке шахматной доски вначале стоит по ладье. Каждым ходом можно снять с доски ладью, которая бьет нечётное число ладей. Какое наибольшее число ладей можно снять? (Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной вертикали или горизонтали и между ними нет других ладей.)

Палиндром – это натуральное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево (например, 1, 343 и 2002 палиндромы).

Найдутся ли 2005 пар вида  (<i>n, n</i> + 110),  где оба числа – палиндромы?

Есть шесть монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен).

Как за три взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?

Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды.

Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15×15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)

В каждой вершине куба записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трёх соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После десяти таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы?