Олимпиадные задачи из источника «16 турнир (1994/1995 год)» для 10 класса - сложность 2 с решениями
16 турнир (1994/1995 год)
НазадПри каких <i>n</i> можно раскрасить в три цвета все ребра <i>n</i>-угольной призмы (основания – <i>n</i>-угольники) так, что в каждой вершине сходятся все три цвета и у каждой грани (включая основания) есть стороны всех трёх цветов?
Покажите, как разбить пространство
а) на одинаковые тетраэдры,
б) на одинаковые равногранные тетраэдры
(тетраэдр называется <i>равногранным</i>, если все его грани – равные треугольники).
Коэффициенты квадратного уравнения <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0 изменили не больше чем на 0,001.
Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?
Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.
Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (<i>a<sub>k</sub> = a</i><sub><i>k</i>–2</sub> – <i>a</i><sub><i>k</i>–1</sub>)?
На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?
На плоскости даны две окружности одна внутри другой. Построить такую точку <i>O</i>, что одна окружность получается из другой гомотетией относительно точки <i>O</i> (другими словами – чтобы растяжение плоскости от точки <i>O</i> с некоторым коэффициентом переводило одну окружность в другую).