Олимпиадная задача по стереометрии и теории чисел для 10–11 классов: раскраска рёбер n-угольной призмы

  Пусть призма покрашена требуемым образом; тогда в основании есть три ребра всех трёх цветов, идущие подряд (иначе основание раскрашено с периодом 2 в два цвета). Рассмотрим такую тройку и занумеруем цвета в ней против часовой стрелке. Несложно проверить, что раскраска этого участка однозначно определяет раскраску участка, находящегося над ним, соответствующих боковых рёбер и следующих рёбер основания (см. рис).

  Мы видим, что следующее против часовой стрелке ребро основания имеет цвет 1. Повторяя рассуждение, получаем, что следующее ребро основания имеет цвет 2, и т.д. Таким образом, нижняя грань окажется покрашенной с периодом 3. Следовательно,nкратно 3.   С другой стороны, приn, кратном 3, раскраска с периодом 3, приведённая на рисунке, удовлетворяет условию.

Приn, кратных 3.