Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии для 9-11 классов от Кушниренко А. Г.

  Обозначим черезR(φ) множество прямых с углом наклона φ (отсчитанного против хода часовой стрелки от горизонтального направления), по обе стороны от каждой из которых лежит одинаковое число (5 или 4) красных точек. Аналогично для синих точек введём множествоB(φ). Каждое из множествR(φ) иB(φ) представляет собой полосу (возможно, из одной прямой), обозначим черезr(φ) иb(φ)направленныепрямые, проходящие посередине этих полос. Докажем, что для некоторого φ₀имеет место равенство  r(φ₀) =b(φ₀).   Если  r(0) =b(0),  то  φ₀= 0.  Если же  r(0) ≠b(0),  можно считать, чтоr(0) проходитлевее b(0), если смотреть вдоль направленияr(0). Будем изменять φ от 0 до π. Поскольку прямыеr(π) иb(π) отличаются от прямыхr(0) иb(0) соответственно только направлением, тоr(π) проходитправее b(π). Ноr(φ) иb(φ) непрерывно зависят от φ, и по теореме о промежуточном значении  r(φ) =b(φ)  для некоторого  φ = φ₀.   В случае, когда прямая  l = r(φ₀) =b(φ₀)  не проходит через две одноцветные точки,lесть искомая прямая. Если жеlпроходит через две одноцветные точки, то искомая прямая может быть получена изl"малым шевелением" – поворотом на очень маленький угол вокруг середины отрезка с концами в этих двух одноцветных точках.

Ответ задачи отсутствует