Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 8-11 класса - сложность 2 с решениями
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
НазадСуществует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (<i>Диагональю</i> многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)
Прямая, параллельная стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Внутри треугольника <i>APQ</i> взята точка <i>M</i>. Отрезки <i>MB</i> и <i>MC</i> пересекают отрезок <i>PQ</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Пусть <i>N</i> – вторая точка пересечения описанных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>PMF</i> и <i>QME</i>. Докажите, что точки <i>A, M</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.
Продолжения боковых сторон трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а её диагонали – в точке <i>Q</i>. Точка <i>M</i> на меньшем основании <i>BC</i> такова, что <i>AM = MD</i>. Докажите, что ∠<i>PMB</i> = ∠<i>QMB</i>.
Центр окружности ω<sub>2</sub> лежит на окружности ω<sub>1</sub>. Из точки <i>X</i> окружности ω<sub>1</sub> проведены касательные XP и XQ к окружности ω<sub>2</sub> (<i>P</i> и <i>Q</i> – точки касания), которые повторно пересекают ω<sub>1</sub> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через середину отрезка <i>RS</i>.
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника <i>BOC</i> в точке <i>O</i>, пересекает луч <i>CB</i> в точке <i>F</i>. Описанная окружность треугольника <i>FOD</i> повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>G</i>. Докажите, что <i>AG = AB</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>A</i> = 60°, точки <i>M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> делит отрезок <i>MN</i> пополам. Найдите отношение <i>AN</i> : <i>MB</i>.
На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.
В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>AH</i> делит медиану <i>BM</i> пополам. Докажите, что из медиан треугольника <i>ABM</i> можно составить прямоугольный треугольник.
Вокруг прямоугольного треугольника <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> описана окружность, на меньших дугах <i>AC</i> и <i>BC</i> взяты их середины – <i>K</i> и <i>P</i> соответственно. Отрезок <i>KP</i> пересекает катет <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Центр вписанной окружности треугольника <i>ABC – I</i>. Найти угол <i>NIC</i>.
Прямоугольники <i>P</i> и <i>Q</i> равновелики, но у <i>P</i> диагональ больше. Двумя копиями <i>P</i> можно накрыть <i>Q</i>. Докажите, что двумя копиями <i>Q</i> можно накрыть <i>P</i>.
Восстановите треугольник <i>ABC</i> по вершине <i>B</i>, центру тяжести и точке пересечения <i>L</i> симедианы, проведённой из вершины <i>B</i>, с описанной окружностью.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> из вершины прямого угла <i>C</i> опущена высота <i>CH</i>. В треугольники <i>ACH</i> и <i>BCH</i> вписали окружности; <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> – их центры; <i>P</i><sub>1</sub> и <i>P</i><sub>2</sub> – их точки касания с <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что прямые <i>O</i><sub>1</sub><i>P</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub><i>P</i><sub>2</sub> пересекаются на <i>AB</i>.
Пятиугольник <i>ABCDE</i> вписан в окружность, причём ∠<i>B</i> + ∠<i>E</i> = ∠<i>C</i> + ∠<i>D</i>. Докажите, что ∠<i>CAD</i> < <sup>π</sup>/<sub>3</sub> < ∠<i>A</i>.
Из середины <i>M</i> стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> опущены перпендикуляры <i>MD</i> и <i>ME</i> на стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно. Около треугольников <i>ABE</i> и <i>BCD</i> описаны окружности. Докажите, что расстояние между центрами этих окружностей равно <sup><i>AC</i></sup>/<sub>4</sub>.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> ∠<i>B</i> = ∠<i>D</i> = 90° и <i>AC = BC + DC</i>. Точка <i>P</i> на луче <i>BD</i> такова, что <i>BP = AD</i>.
Докажите, что прямая <i>CP</i> параллельна биссектрисе угла <i>ABD</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC AH</i><sub>1</sub>, <i>BH</i><sub>2</sub> – высоты, <i>D</i> – проекция <i>H</i><sub>1</sub> на <i>AC, E</i> – проекция <i>D</i> на <i>AB, F</i> – точка пересечения <i>ED</i> и <i>AH</i><sub>1</sub>.
Докажите, что <i>H</i><sub>2</sub><i>F || BC</i>.
На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i>, в которой <i>AB = BD</i>. Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>DС</i>. Докажите, что ∠<i>MBC</i> = ∠<i>BCA</i>.