Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC, AA</i>₁ – его биссектриса, <i>A</i>₂ – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника, <i>I</i> – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников <i>AA</i>₁<i>A</i>₂, <i>BB</i>₁<i>B</i><sub>2</sub&...

Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>K</i> – основание биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. Точка <i>M</i> – середина дуги <i>AC</i> описанной окружности. Точка <i>N</i> выбрана на биссектрисе угла <i>C</i> так, что  <i>AN || BM</i>.  Докажите, что точки <i>M, N</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек  {<i>i, j, k</i>},  где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₀₀ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A_iA_jA_k</i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Окружность ω касается отрезка <i>MA</i> в точке <i>P</i>, отрезка <i>MD</i> в точке <i>Q</i> и описанной окружности Ω четырёхугольника <i>ABCD</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>X</i> лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_<i>Q</i> и ω_<i>P</i> треугольников <i>ACQ</i> и <i>BDP</i>.

Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?

В призму <i>ABCA'B'C'</i> вписана сфера, касающаяся боковых граней <i>BCC'B', CAA'C, ABB'A'</i> в точках <i>A</i>₀, <i>B</i>₀, <i>C</i>₀ соответственно. При этом

∠<i>A₀BB'</i> = ∠<i>B₀CC'</i> = ∠<i>C₀AA'</i>.

  а) Чему могут равняться эти углы?

  б) Докажите, что отрезки <i>AA</i>₀, <i>BB</i>₀, <i>CC</i>₀ пересекаются в одной точке.

  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые <i>...

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

Пусть <i>M_A, M_B, M_C</i> – середины сторон неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точки <i>H_A, H_B, H_C</i>, отличные от <i>M_A, M_B, M_C</i>, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  <i>M_AH_B = M_AH_C,  M_BH_A = M_BH_C,  M_CH_A = M_CH_B</i>.  Докажите, что &lt...

<i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AMN</i> и <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой Эйлера треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC  O, M, N</i> – центр описанной окружности, центр тяжести и <i>точка Нагеля</i> соответственно.

Докажите, что угол <i>MON</i> прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине <i>A</i>, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке <i>A</i>₁. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

  а) Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

  б) Пусть <i>A</i>₂ – точка касания ω со стороной <i>BC</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁ и <i>AA</i><sub>2</sub&g...

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>L_a, L_b, L_c</i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L_a</i> к <i>BC</i>, пересекает <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A_b</i> и <i>A_c</i> соответственно. Точка <i>O_a</i> – центр описанной окружности треугольника <i>AA_bA_c</i>. Аналогично определим <i>O_b</i> и <i>O_c</i>. Докажите,...

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>ABC, BB</i>₁ – его симедиана, луч <i>BB</i>₁ вторично пересекает описанную окружность Ω в точке <i>L</i>. Пусть <i>H_A, H_B, H_C</i> – основания высот треугольника <i>ABC</i>, а луч <i>BH_B</i> вторично пересекает Ω в точке <i>T</i>. Докажите, что точки <i>H_A, H_C, T, L</i> лежат на одной окружности.