Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 7-9 класса

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность ω с центром <i>O, M</i>₁ и <i>M</i>₂ – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; Ω – описанная окружность треугольника <i>OM</i>₁<i>M</i>₂,  <i>X</i>₁ и <i>X</i>₂ – точки пересечения ω с Ω, а <i>Y</i>₁ и <i>Y</i>₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников <i>CDM</i>₁ и <i>ABM</i><sub>2</sub&g...

Пусть <i>AL</i> и <i>AK</i> – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника <i>ABC,  P</i> – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L</i> к <i>BC</i>, пересекает прямую <i>AP</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>Q</i> лежит на средней линии треугольника <i>LKP</i>.

В окружность вписан шестиугольник <i>ABCDEF.  K, L, M, N</i> – точки пересечения пар прямых <i>AB</i> и <i>CD, AC</i> и <i>BD, AF</i> и <i>DE, AE</i> и <i>DF</i>.

Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.

Дан треугольник <i>ABC,  O</i> – центр его описанной окружности. Проекции точек <i>D</i> и <i>X</i> на стороны треугольника лежат на прямых <i>l</i> и <i>L</i>, причём <i>l || XO</i>.  Докажите, что прямая <i>L</i> образует равные углы с прямыми <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Восстановите четырёхугольник по центрам описанных окружностей двух соседних треугольников и центрам вписанных окружностей двух противоположных друг другу треугольников.

Длины сторон треугольника <i>ABC</i> не превышают 1.

Докажите, что  <i>p</i>(1 – 2<i>Rr</i>) ≥ 1,  где <i>p</i> – полупериметр, <i>R</i> и <i>r</i> – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла <i>A</i> относительно середины стороны <i>BC</i>. На отрезке <i>A</i>₁<i>A</i>₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AH</i>₁, <i>BH</i>₂ и <i>CH</i>₃. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>H</i>₂<i>H</i>₃. Прямая <i>AM</i> пересекает отрезок <i>H</i>₂<i>H</i>₁ в точке <i>K</i>.

Докажите, что точка <i>K</i> принадлежит средней линии треугольника <i>ABC</i>, параллельной <i>AC</i>.

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

Пусть <i>H</i> – ортоцентр остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>BA, BC</i> в точках <i>A</i>₀, <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что периметр треугольника <i>A</i>₀<i>OC</i>₀ (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) равен <i>AC</i>.

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Постройте на сторонах <i>BC, CA, AB</i> точки <i>A', B', C'</i> так, чтобы выполнялись следующие условия:

  - <i>A'B' || AB</i>;

  - <i>C'C</i> – биссектриса угла <i>A'C'B'</i>;

  - <i>A'C' + B'C' = AB</i>.

В равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> перпендикулярны. Из точки <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>, а из точки <i>C</i> – перпендикуляр <i>CF</i> на прямую <i>DE</i>. Докажите, что  ∠<i>DBF</i> = ½ ∠<i>FCD</i>.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H.  H_A</i> – точка симметричная <i>H</i> относительно <i>A.  H_AC</i>₁ пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C'</i>; аналогично определяется точка <i>A'</i>. Докажите, что  <i>A'C' || AC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC  AA', BB'</i> и <i>CC'</i> – высоты. Точки <i>C_a, C_b</i> симметричны <i>C'</i> относительно <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. Аналогично определены точки <i>A_b, A_c, B_c, B_a</i>. Докажите, что прямые <i>A_bB_a, B_cC_b</i> и <i>C_aA_c</i> параллельны.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Две окружности, проходящие через вершину <i>A</i>, касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Пусть <i>D</i> – вторая точка пересечения этих окружностей (<i>A</i> лежит ближе к <i>BC</i>, чем <i>D</i>). Известно, что  <i>BC</i> = 2<i>BD</i>.  Докажите, что  ∠<i>DAB</i> = 2∠<i>ADB</i>.

В параллелограмме <i>ABCD</i> провели трисектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i>. Трисектрисы, ближние к стороне <i>AB</i>, пересекаются в точке <i>O</i>. Обозначим пересечение трисектрисы <i>AO</i> со второй трисектрисой угла <i>B</i> через <i>A</i>₁, а пересечение трисектрисы <i>BO</i> со второй трисектрисой угла <i>A</i> через <i>B</i>₁. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁, а прямая <i>MO</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что треугольник <i>A</i>...

На стороне <i>AD</i> квадрата <i>ABCD</i> во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник <i>AED</i>. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр <i>AF</i>, на стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>G</i> так, что  <i>CG = DF</i>.  Докажите, что угол <i>BGE</i> меньше половины угла <i>AED</i>.

В треугольнике <i>ABC  O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – ортоцентр. Через середину <i>OH</i> параллельно <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Оказалось, что <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ADE</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

Таня вырезала из бумаги выпуклый многоугольник и несколько раз его согнула так, что получился двухслойный четырёхугольник.

Мог ли вырезанный многоугольник быть семиугольником?

В треугольнике <i>ABC</i> серединный перпендикуляр к <i>BC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A_B</i> и <i>A_C</i> соответственно. Обозначим через <i>O_a</i> центр описанной окружности треугольника <i>AA_BA_C</i>. Аналогично определим <i>O_b</i> и <i>O_c</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>O_aO_bO_c</i> касается описанной окружности исходного треугольника.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются в точке <i>H</i>, а медианы треугольника <i>AHB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Прямая <i>CM</i> делит отрезок <i>A'B'</i> пополам. Найдите угол <i>C</i>.

Диагонали выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> перпендикулярны. Точки <i>A', B', C', D'</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABD, BCA, CDB, DAC</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC', DD'</i> пересекаются в одной точке.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H_a, H_c</i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AH_c, CH_a</i> пересекаются на средней линии треугольника <i>ABC</i>.

Дан фиксированный треугольник <i>ABC</i>. По его описанной окружности движется точка <i>P</i> так, что хорды <i>BC</i> и <i>AP</i> пересекаются. Прямая <i>AP</i> разрезает треугольник <i>BPC</i> на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через <i>I</i>₁ и <i>I</i>₂ соответственно. Прямая <i>I</i>₁<i>I</i>₂ пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что все прямые <i>ZP</i> проходят через фиксированную точку.