Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)» для 2-8 класса - сложность 2 с решениями
X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)
НазадДана окружность с центром <i>O</i> и не лежащая на ней точка <i>P</i>. Пусть <i>X</i> – произвольная точка окружности, <i>Y</i> – точка пересечения биссектрисы угла <i>POX</i> и серединного перпендикуляра к отрезку <i>PX</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i> (<i>H</i> лежит между <i>L</i> и <i>B</i>). При этом <i>ML = LH = HB</i>.
Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> описана окружность и в точке <i>B</i> проведена касательная к ней. Из точки <i>C</i> проведён перпендикуляр <i>CD</i> к этой касательной, также проведены высоты <i>AE</i> и <i>BF</i>. Докажите, что точки <i>D, E, F</i> лежат на одной прямой.
Есть бумажный квадрат со стороной 2. Можно ли вырезать из него 12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45°?
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.
Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.
Найдите углы треугольника.
Две точки окружности соединили ломаной, длина которой меньше диаметра окружности.
Докажите, что существует диаметр, не пересекающий эту ломаную.
Две окружности Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> касаются внешним образом в точке <i>O</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> лежат на Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> соответственно так, что лучи <i>O</i><sub>1</sub><i>X</i> и <i>O</i><sub>2</sub><i>Y</i> одинаково направлены. Из точки <i>X</i> проведены касательные к Ω<sub>2</sub>, а из точки <i>Y</i> – к Ω<sub>1</sub>. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку <i>O</i>.
Дан треугольник с углами 30°, 70° и 80°. Разрежьте его отрезком на два треугольника так, чтобы биссектриса одного из этих треугольников и медиана второго, проведённые из концов разрезающего отрезка, были параллельны друг другу.
Пусть <i>AH<sub>a</sub></i> и <i>BH<sub>b</sub></i> – высоты, а <i>AL<sub>a</sub></i> и <i>BL<sub>b</sub></i> – биссектрисы треугольника <i>ABC</i>. Известно, что <i>H<sub>a</sub>H<sub>b</sub> || L<sub>a</sub>L<sub>b</sub></i>. Верно ли, что <i>AC = BC</i>?
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub>, а гипотенузы – в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Прямые <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i><sub>0</sub> и <i>A</i><sub>0</sub>. Докажите, что <i>AB</i><sub>0</sub> = <i>BA</i><sub>0</sub>.