Олимпиадные задачи из источника «II Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2006 г.)» для 7-8 класса
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника <i>ABC</i>, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Дана окружность радиуса <i>R</i>. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна <i>R</i>, касаются её изнутри.
Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.
Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?
Две равные окружности пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>.<i> P </i>– отличная от<i> A </i>и<i> B </i>точка одной из окружностей,<i> X </i>,<i> Y </i>– вторые точки пересечения прямых<i> PA </i>,<i> PB </i>с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через<i> P </i>и перпендикулярная<i> AB </i>, делит одну из дуг<i> XY </i>пополам.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Две окружности с центрами в вершинах <i>A</i> и <i>C</i> проходят через <i>D</i>. Прямая <i>l</i> проходит через <i>D</i> и вторично пересекает окружности в точках <i>X, Y</i>. Докажите, что <i>BX = BY</i>.
При каком наименьшем<i> n </i>существует<i> n </i>-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?
Впишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.