Олимпиадные задачи из источника «2 (2010 год)» - сложность 3 с решениями
2 (2010 год)
НазадСреди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей.
Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?
Докажите, что для произвольных <i>a, b, с</i> равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_2.gif"> выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65082/problem_65082_img_3.gif">.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> углы <i>B</i> и <i>D</i> равны, <i>CD</i> = 4<i>BC</i>, а биссектриса угла <i>A</i> проходит через середину стороны <i>CD</i>.
Чему может быть равно отношение <i>AD</i> : <i>AB</i>?
На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?
В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.
В четырёхугольнике <i>ABCD </i>сторона <i>AB</i> равна диагонали <i>AC</i> и перпендикулярна стороне <i>AD</i>, а диагональ <i>AC</i> перпендикулярна стороне <i>CD</i>. На стороне <i>AD</i> взята такая точка <i>K</i> , что <i>AC = AK</i>. Биссектриса угла <i>ADC</i> пересекает <i>BK</i> в точке <i>M</i>. Найдите угол <i>ACM</i>.
В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.
Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а биссектрисы углов <i>B</i> и <i>D</i> – в точке <i>Q</i>, отличной от <i>P</i>.
Докажите, что если отрезок <i>PQ</i> параллелен основанию <i>AD</i>, то трапеция равнобокая.
При каком наибольшем <i>n</i> можно раскрасить числа 1, 2, ..., 14 в красный и синий цвета так, чтобы для каждого числа <i>k</i> = 1, 2, ..., <i>n</i> нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна <i>k</i>, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна <i>k</i>?