Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 2-4 с решениями
Заключительный этап
НазадНа бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000<sup>1000</sup>-м месте?
На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется три ореха. Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе – его соперник. Кто из игроков может выиграть, как бы не играл соперник?
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> выполнены соотношения <i>AB = BD</i>, ∠<i>ABD</i> = ∠<i>DBC</i>. На диагонали <i>BD</i> нашлась такая точка <i>K</i>, что <i>BK = BC</i>.
Докажите, что ∠<i>KAD</i> = ∠<i>KCD</i>.
Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение НОК(*, *, ) – НОК(, *, *) = 2009 в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?
В стране Леонардии все дороги – с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.
В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что угол <i>ADC</i> вдвое больше угла <i>ABC</i>.
Докажите, что удвоенное расстояние от точки <i>B</i> до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом <i>ADC</i>, равно <i>AD + DC</i>.
При всяком ли натуральном <i>n</i> > 2009 из дробей <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65061/problem_65061_img_2.gif"> можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?
У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?