Олимпиадные задачи из источника «10 класс» - сложность 1-2 с решениями

Биссектриса, медиана и высота некоторого треугольника, проведённые из трёх разных вершин, пересекаются в одной точке и делят этот треугольник на шесть треугольников (см.рисунок). Площади трёх закрашенных треугольников равны. Верно ли, что исходный треугольник равносторонний? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111574/problem_111574_img_2.gif"></div>

Точки <i>А</i>₁ и <i>А</i>₃ расположены по одну сторону от плоскости α, а точки <i>А</i>₂ и <i>А</i>₄ – по другую сторону. Пусть <i>В</i>₁, <i>В</i>₂, <i>В</i>₃ и <i>В</i>₄ – точки пересечения отрезков <i>А</i>₁А₂, <i>А</i>₂<i>А</i>₃, <i>А</i>₃<i>А</i>₄ и <i>А</i>₄<i>А</i>&l...

Петя играет в игру-стрелялку. Если он наберёт менее 1000 очков, то компьютер добавит ему 20% от его результата. Если он наберёт от 1000 до 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков и 30% от оставшегося количества очков. Если Петя наберёт более 2000 очков, то компьютер добавит ему 20% от первой тысячи очков, 30% от второй тысячи и 50% от оставшегося количества. Сколько призовых очков получил Петя, если по окончании игры у него было 2370 очков?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.