Олимпиадные задачи из источника «2007 год» - сложность 3 с решениями

<img align="right" src="/storage/problem-media/109460/problem_109460_img_2.gif">Дан набор одинаковых правильных пятиугольников, при вершинах каждого из которых записаны натуральные числа от 1 до 5, как показано на рисунке. Пятиугольники можно поворачивать и переворачивать. Их сложили в стопку (вершина к вершине), и оказалось, что при каждой из пяти вершин суммы чисел одинаковы. Сколько пятиугольников могло быть в этой стопке?

Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если: а) три отрезка имеют равные длины? б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?

Пусть<i> α </i>и<i> β </i>– острые углы такие, что<i> sin²α + sin²β < </i>1. Докажите, что<i> sin²α + sin²β < sin²</i>(<i>α + β</i>).

Даны таблица 100×100 клеток и <i>N</i> фишек. Рассматриваются все такие расстановки фишек в клетки таблицы, что никакие две фишки не стоят в соседних клетках. При каком наибольшем <i>N</i> в каждой из этих расстановок можно найти хотя бы одну фишку, от перемещения которой в соседнюю клетку заданное условие не нарушится? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Решите уравнение:  (<i>x</i>³ – 2)(2^{sin <i>x</i>} – 1) + (2^<i>x</i>³ – 4) sin <i>x</i> = 0.

Основанием прямоугольного параллелепипеда <i>АВСDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ является квадрат <i>АВСD</i>.

Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой <i>BD</i>₁ и плоскостью <i>ВDС</i>₁.