Олимпиадная задача по стереометрии: угол между прямой BD₁ и плоскостью BDC₁ (10–11 класс)

  Рассмотрим сечение ВDС₁ данного параллелепипеда (см. рис. слева). Пусть О – точка пересечения диагоналей квадрата АВСD. Так как треугольник DC₁B – равнобедренный, то C₁О – его высота. Пусть Р – точка пересечения диагоналей параллелепипеда, РQ – перпендикуляр к плоскости ВDС₁. Ясно, что точка Р равноудалена от вершин треугольника DC₁B, поэтому Q – центр описанной около него окружности. Так как этот треугольник – остроугольный и равнобедренный, точка Q лежит на отрезке C₁О. Углом между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁ является острый угол α между (BD₁) и её ортогональной проекцией на (ВDС₁), то есть угол РВQ.

  Пусть  AB = a, АА₁=b.  Тогда    ДлинуРQможно найти, рассмотрев, например, прямоугольникСС₁О₁О, гдеО₁– точка пересечения диагоналей квадратаА₁В₁С₁D₁(см. рис. справа). Из подобия прямоугольных треугольниковРОQиС₁ОО₁получим, что    Так как    то    Следовательно,  Итак, наибольшее значение α равно arcsin ⅓. Оно достигается при  а = b,  то есть когда данный параллелепипед – куб.

arcsin ⅓.