Олимпиадная задача по тригонометрии: неравенство для острых углов, 10-11 класс

1. Так как α и β – острые углы, то значения всех тригонометрических функций этих углов положительны. Из условия следует, что sin²α < 1 - sin² β= cos²β и sin²β < 1 - sin²α= cos²α . Тогда sinα < cosβ и sinβ < cosα , откуда sinα sinβ< cosα cosβ . Следовательно, cos(α+β)>0и0<α+β<90^o .
2. Рассмотрим разность между правой и левой частью доказываемого неравенства: так как cos(α-β)> cos(α+β)(функция cos x на рассматриваемом промежутке убывает).

Вторую часть доказательства можно провести иначе: Последнее неравенство выполняется, следовательно выполняется и доказываемое неравенство.

Ответ задачи отсутствует