Олимпиадная задача по стереометрии: проекция трёх отрезков, Петя и Андрей
Задача
Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если: а) три отрезка имеют равные длины? б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?
Решение
а) Пусть Петя каким-либо образом расположил равные отрезки. Заметим, что параллельный перенос отрезка не меняет длину его проекции на любую плоскость. Поэтому Андрей может осуществить параллельный перенос Петиных отрезков таким образом, чтобы они имели общее начало O (см. рис. 10.6). Тогда искомой плоскостью является плоскость ABC , проходящая через другие концы отрезков. Таким образом, при ортогональном проектировании равных отрезков OA , OB и OC на эту плоскость их проекции O'A , O'B и O'C будут равны.
Отметим, что если никакие два из исходных отрезков не были параллельными,
то такая плоскость– единственная.
Если же среди исходных отрезков были параллельные, то таких плоскостей много и можно проектировать на
любую из них.
б) Если Петя расположит два неравных отрезка параллельно друг другу, а третий отрезок не параллельно им,
то Андрей не сможет осуществить задуманное. Это следует из того, что
при параллельном проектировании на любую плоскость сохраняется
отношение длин параллельных отрезков (если проекции не являются точками).
Если же проекции двух параллельных отрезков окажутся точками, то проекция третьего отрезка точкой не будет.
Ответ
а) да, всегда; б) нет, не всегда.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь