Олимпиадные задачи из источника «11 (2013 год)» - сложность 2-3 с решениями

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AP</i> и <i>BQ</i>, а также медиана <i>CM</i>. Точка <i>R</i> – середина <i>CM</i>. Прямая <i>PQ</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что  <i>OR</i>⊥<i>TC</i>,  где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах четырёхугольника <i>ABCD</i> с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники <i>ABM, CBP, CDL</i> и <i>ADK</i> (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что  <i>PK = ML</i>.

Существует ли многогранник, у которого отношение площадей любых двух граней не меньше 2?

Внутри угла <i>AOD</i> проведены лучи <i>OB</i> и <i>OC</i>, причём  ∠<i>AOB</i> = ∠<i>COD</i>.  В углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> вписаны непересекающиеся окружности.

Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла <i>AOD</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64339/problem_64339_img_2.gif"></div>

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанные окружности треугольников <i>AOB</i> и <i>COD</i> пересекаются в точке <i>M</i> на стороне <i>AD</i>. Докажите, что точка <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>BMC</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На его сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> зафиксированы точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁ соответственно. Найдите на описанной окружности треугольника <i>ABC</i> такую точку <i>P</i>, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников <i>APC</i>₁ и <i>CPA</i>₁ минимально.

В треугольнике <i>ABC</i>:  ∠<i>C</i> = 60°,  ∠<i>A</i> = 45°.  Пусть <i>M</i> – середина <i>BC</i>, <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что прямая <i>MH</i> проходит через середину дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяты соответственно точки <i>C</i>₁ и <i>A</i>₁ так, что  <i>AC = A</i>₁<i>C = AC</i>₁.

Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABA</i>₁ и <i>CBC</i>₁ пересекаются на биссектрисе угла <i>B</i>.

Биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁ прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i>₁ и перпендикулярная прямой <i>AA</i>₁, пересекает прямую, проходящую через <i>A</i>₁ и перпендикулярную <i>CC</i>₁, в точке <i>K</i>. Докажите, что середина отрезка <i>KI</i> лежит на отрезке <i>AC</i>.

Циркулем и линейкой разбейте данный треугольник на два меньших треугольника с одинаковой суммой квадратов сторон.

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса <i>AK</i> перпендикулярна медиане <i>CL</i>.

Докажите, что в треугольнике <i>BKL</i> также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.